【題目】如圖，四棱錐中，，，，為正三角形，且.

（1）證明：直線平面；

（2）若四棱錐的體積為，是線段的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）證明，，推出平面；

（2）以為原點(diǎn)，直線、分別為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，由（1）的結(jié)論知，平面，所以則向量與向量所成的角或其補(bǔ)角與直線與平面所成的角互余，計(jì)算結(jié)果即可.

（1），且，，

又為正三角形，所以，

又，，所以，又，//，

，，所以平面.

（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，依題可得，以為原點(diǎn)，直線、分別為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出各點(diǎn)的坐標(biāo)和向量，由（1）可知平面，故向量是平面的一個(gè)法向量，則向量與向量所成的角或其補(bǔ)角與直線與平面所成的角互余.

則，，，，則，設(shè)，

由，，可得，解得，，

即，

所以，又由（1）可知，是平面的一個(gè)法向量，

∴，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)．

（1）若不等式的解集為，求a的值；

（2）在（1）的條件下，若存在，使，求t的取值范圍．

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【題目】一青蛙從點(diǎn)開始依次水平向右和豎直向上跳動，其落點(diǎn)坐標(biāo)依次是，(如圖，的坐標(biāo)以已知條件為準(zhǔn))，表示青蛙從點(diǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路程.

(1)點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)，點(diǎn)，均在該拋物線上，并且直線經(jīng)過該拋物線的焦點(diǎn)，證明；

(2)若點(diǎn)要么落在所表示的曲線上，要么落在所表示的曲線上，并且,試寫出(不需證明)；

(3)若點(diǎn)要么落在所表示的曲線上，要么落在所表示的曲線上，并且，求的值.

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【題目】已知函數(shù)，下列說法正確的是__________.的值域是；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根；若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則；經(jīng)過有三條直線與相切.

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【題目】日照一中為了落實(shí)“陽光運(yùn)動一小時(shí)”活動，計(jì)劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個(gè)占地面積為S的矩形AMPN健身場地．如圖，點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在AB上，且P點(diǎn)在斜邊BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．

（1）試用x表示S，并求S的取值范圍；

（2）若在矩形AMPN以外（陰影部分）鋪上草坪．已知：矩形AMPN健身場地每平方米的造價(jià)為，草坪的每平方米的造價(jià)為（k為正常數(shù)）．設(shè)總造價(jià)T關(guān)于S的函數(shù)為T=f（S），試問：如何選取|AM|的長，才能使總造價(jià)T最低．

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【題目】（理）在長方體中，，，，點(diǎn)在棱上移動．

（1）探求多長時(shí)，直線與平面成角；

（2）點(diǎn)移動為棱中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．

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【題目】（文科）已知四棱錐的底面ABCD為直角梯形，，，，為正三角形.

（1）點(diǎn)M為棱AB上一點(diǎn)，若平面SDM，，求實(shí)數(shù)λ的值；

（2）若，求四棱錐的體積.

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【題目】已知橢圓：（），過原點(diǎn)的兩條直線和分別與交于點(diǎn)、和、，得到平行四邊形.

（1）若，，且為正方形，求該正方形的面積.

（2）若直線的方程為，和關(guān)于軸對稱，上任意一點(diǎn)到和的距離分別為和，證明：.

（3）當(dāng)為菱形，且圓內(nèi)切于菱形時(shí)，求，滿足的關(guān)系式.

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【題目】數(shù)列滿足．

①存在可以生成的數(shù)列是常數(shù)數(shù)列；

②“數(shù)列中存在某一項(xiàng)”是“數(shù)列為有窮數(shù)列”的充要條件；

③若為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是；

④只要，其中，則一定存在；

其中正確命題的序號為__________.

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