【題目】如圖,四棱錐中,,為正三角形,且.

(1)證明:直線平面;

(2)若四棱錐的體積為,是線段的中點(diǎn),求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析;(2).

【解析】

1)證明,,推出平面;

2)以為原點(diǎn),直線分別為軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出各點(diǎn)的坐標(biāo),由(1)的結(jié)論知,平面,所以則向量與向量所成的角或其補(bǔ)角與直線與平面所成的角互余,計(jì)算結(jié)果即可.

1,且,

為正三角形,所以

,,所以,又//,

,,所以平面.

2)設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則,依題可得,以為原點(diǎn),直線、分別為軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出各點(diǎn)的坐標(biāo)和向量,由(1)可知平面,故向量是平面的一個(gè)法向量,則向量與向量所成的角或其補(bǔ)角與直線與平面所成的角互余.

,,,則,設(shè),

,可得,解得,

,

所以,又由(1)可知,是平面的一個(gè)法向量,

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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(1)點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn),點(diǎn),均在該拋物線上,并且直線經(jīng)過該拋物線的焦點(diǎn),證明;

(2)若點(diǎn)要么落在所表示的曲線上,要么落在所表示的曲線上,并且,試寫出(不需證明);

(3)若點(diǎn)要么落在所表示的曲線上,要么落在所表示的曲線上,并且,求的值.

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