Question

【題目】如圖，橢圓C： (a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點的距離為．不過原點O的直線與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．

（1）求橢圓C的方程；

（2）求ABP的面積取最大時直線l的方程．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 直線l的方程為 .

【解析】試題分析：

(1)由題意可得．則所求橢圓C的方程為： ．

(2)首先設(shè)出點的坐標，設(shè)而不求可得直線AB的斜率為，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合面積函數(shù)，利用導函數(shù)研究三角形面積的最大值可得ABP的面積取最大時直線l的方程是 .

試題解析：

(1)由題意可得： ①；

左焦點到點的距離為： ②．

由①②可解得： ．

∴所求橢圓C的方程為： ．

(2)易得直線OP的方程： ，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．

其中y0＝x0．∵A，B在橢圓上，

∴．

設(shè)直線AB的方程為 (m≠0)，代入橢圓： ，

整理得： ．

顯然．

∴﹣且m≠0．由上又有： ， ．

∴AB＝||＝ ＝ ．

∵點到直線l的距離表示為： ．

∴SABP＝ ＝ ，

令，

則，

﹣且m≠0， ，令則，

解得，（ ），

當時， 遞增，

當時， 遞減，

所以，當且僅當時， ABP的面積取最大，

此時，直線l的方程為 ．