Question

【題目】已知等比數(shù)列{an}滿足an+1+an=92n﹣1 ， n∈N* ．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 若不等式Sn＞tan﹣1，對一切n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，{an}是等比數(shù)列，

∵an+1+an=92n﹣1，n∈N*．

可得a1+a2=9，a2+a3=18，

即a1+a1q=9， ，

解得：a1=3，q=2．

∴an= =32n﹣1

（2）解：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn= =32n﹣3．

不等式Sn＞tan﹣1，對一切n∈N*恒成立，即 ＞t對一切n∈N*恒成立．

∵ = 是遞增函數(shù)，

∴當(dāng)n=1時，即 取得最小值為 ．

∴t ．

即實(shí)數(shù)t的取值范圍（﹣∞， ）

【解析】（1）根據(jù)題中的遞推公式，表示a1，a2，a3之間的關(guān)系，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解出首項(xiàng)a1，公比q，從而得出an的通項(xiàng)公式，（2）不等式Sn＞tan﹣1，對一切n∈N*恒成立，即 ＞t對一切n∈N*恒成立，根據(jù)遞增函數(shù)的性質(zhì)即可得出t的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項(xiàng)公式．