【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,△DAB≌△DCB,E為線段BD上的點,且EA=EB=ED=AB,延長CE交AD于點F.
(1)若G為PD的中點,求證平面PAD⊥平面CGF;
(2)若AD=AP=6,求平面BCP與平面DCP所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2).
【解析】
(1)推導出∠BCD=,EF⊥AD,AF=DF,GF⊥平面ABCD,GF⊥AD,從而AD⊥平面CFG,由此能證明平面PAD⊥平面CGF.
(2)以A為原點,AD為x軸,AB為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出平面BCP與平面DCP所成銳二面角的余弦值.
(1)證明:在△BCD中,EB=ED=EC=BC,∴∠BCD,
∵△DAB≌△DCB,∴△EAB≌△ECB,
∴∠FED=∠FEA=∠AEB,EC=EA,
∴∠FED=∠FEA,ED=EA,∴EF⊥AD,AF=DF,
∵PG=DG,∴FG∥PA,
∵PA⊥平面ABCD,∴GF⊥平面ABCD,∴GF⊥AD,
∵GF∩EF=F,∴AD⊥平面CFG,
∵AD平面PAD,∴平面PAD⊥平面CGF.
(2)解:由(1)知∠BCD,
∵△DAB≌△DCB,∴AB⊥AD,
∵AD=AP=6,,∴AB=2,
以A為原點,AD為x軸,AB為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標系,
P(0,0,6),B(0,2,0),C(3,3,0),D(6,0,0),
(0,2,﹣6),(3,3,﹣6),(6,0,﹣6),
設平面BCP的法向量(x,y,z),
則,取x=1,得(1,,﹣1),
設平面DCP的法向量(x,y,z),
則,取x=1,得(1,,1),
設平面BCP與平面DCP所成銳二面角的平面角為θ,
則cosθ.
∴平面BCP與平面DCP所成銳二面角的余弦值為.
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【題目】已知橢圓的一個焦點為,左右頂點分別為.經過點的直線與橢圓交于兩點.
(1)求橢圓方程及離心率.
(2)當直線的傾斜角為時,求線段的長;
(3)記的面積分別為和,求最大值.
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【題目】如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分別是棱AA1,AD上的點,且AE=EA1,AFFD.
(1)求證:平面EC1D1⊥平面EFB;
(2)求二面角E﹣FB﹣A的余弦值.
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【題目】在直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)為曲線上的動點,點在線段上,且滿足,求點的軌跡的直角坐標方程;
(2)設點的極坐標為,點在曲線上,求面積的最大值.
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【題目】中國古代數學名著《九章算術》中的“蒲莞生長”是一道名題根據該問題我們改編一題:今有蒲草第一天長為三尺,莞草第一天長為一尺,以后蒲草的生長長度遂天減半,莞草的生長長度逐天加倍,現問幾天后莞草的長度是蒲草的長度的兩倍,以下給出了問題的四個解,其精確度最高的是(結果保留一位小數,參考數據:lg2≈0.30,lg3≈0.48)( )
A.2.6日B.3.0日C.3.6日D.4.0日
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【題目】已知m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,給出下列命題:
①若m∥n,n⊥β,mα,則α⊥β;
②若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,則n⊥α或n⊥β;
③若m⊥α,m⊥n,nβ,則α∥β或α⊥β;
④若α∩β=m,n∥m,nα,nβ,則n∥α且n∥β;
其中正確命題的序號是( )
A.①②B.①③C.①④D.②④
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【題目】設函數,
(1)求函數f(x)在x∈[﹣1,2]上的最大值和最小值;
(2)若對于任意x∈[﹣1,2]都有f(x)<m成立,求實數m的取值范圍.
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【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,,,平面PAB,D,E分別是AC,BC上的點,且平面PAB.
(1)求證平面PDE;
(2)若D為線段AC中點,求直線PC與平面PDE所成角的正弦值.
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