Question

已知函數(shù).

（1）若曲線在和處的切線相互平行，求的值；

（2）試討論的單調性；

（3）設，對任意的，均存在，使得.試求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）詳見解析；（3）實數(shù)的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，利用條件“曲線在和處的切線相互平行”得到，從而在方程中求出的值；（2）對參數(shù)的符號進行分類討論，以確定方程的根是否在定義域內，并對時，就導數(shù)方程的根與的大小進行三種情況的分類討論，從而確定函數(shù)的單調區(qū)間；（3）將問題中的不等式等價轉化為，充分利用（2）的結論確定函數(shù)在區(qū)間上的最大值，從而求出參數(shù)的取值范圍.

試題解析：函數(shù)定義域為，

（1）∵函數(shù)

 

依題意，，即，解得；

（2），

①當時，，，

在區(qū)間上，；在區(qū)間上，，

故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；

②當時，，

在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，，

故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為；

③當時，，故的單調遞增區(qū)間為；

④當時，，

在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，，

故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為；

（3）由已知，在(0,2]上有f(x)_max＜g(x)_max.

由已知，g(x)_max＝0，由(2)可知，

①當a≤時，f(x)在(0,2]上單調遞增，

故f(x)_max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2

＝－2a－2＋2ln2，

∴－2a－2＋2ln2＜0，解得a＞ln2－1，ln2－1＜0，故ln2－1＜a≤.

②當a＞時，f(x)在]上單調遞增，在]上單調遞減，

故f(x)_max＝f＝－2－－2lna.

由a＞可知lna＞ln＞ln＝－1,2lna＞－2，－2lna＜2，

∴－2－2lna＜0，即f(x)_max＜0，符合題意。

綜上所述，a＞ln2－1.

考點：1.利用導數(shù)求切線方程；2.函數(shù)的單調區(qū)間；3.函數(shù)不等式