Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若直線與的圖象相切，求實(shí)數(shù)的值；

（2）設(shè)，討論曲線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）設(shè)，比較與的大小，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）答案不唯一，詳情見解析（3），證明見解析

【解析】

（1）設(shè)切點(diǎn)為，由，切點(diǎn)過直線聯(lián)立求解即可；

（2）求曲線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)即求與的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過研究導(dǎo)數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)增減性，討論與函數(shù)最值點(diǎn)大小即可；

（3）可先通過試值，預(yù)判，原不等式可表示為，變形得，再令，再結(jié)合換元法和構(gòu)造函數(shù)法即可求證

（1）設(shè)切點(diǎn)為，則，又切點(diǎn)過直線，所以，聯(lián)立求解可得，；

（2）原題可等價(jià)轉(zhuǎn)化為求與的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，

令，令可得，當(dāng)時(shí)，，單增；當(dāng)時(shí)，，單減；故，

又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由冪函數(shù)的增長(zhǎng)性遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于對(duì)數(shù)函數(shù)可知，，故的大致圖像為

當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)共同點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，與有一個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，與無公共點(diǎn)；

（3），證明如下，要證，即證，即，令，則原式變?yōu)?/span>，即，

令，則，故在上單增，所以當(dāng)，又，所以恒成立，原式得證