Question

已知橢圓（a>b>0）的離心率e=，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B，已知點A的坐標為
（i）若，求直線l的傾斜角；
（ii）若點Q在線段AB的垂直平分線上，且.求的值.

Answer 1

（Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b.
由題意可知，即ab=2.解方程組得a=2，b=1，
所以橢圓的方程為..。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知點A的坐標是（-2,0）.設點B的坐標為，直線l的斜率為k.則直線l的方程為y=k（x+2）.于是A、B兩點的坐標滿足方程組消去y并整理，得
.
由，得.從而.
所以.
由，得.
整理得，即，解得k=.
所以直線l的傾斜角為或.。。。。。。。。。。。。。。。6分
（ii）解：設線段AB的中點為M，由（i）得到M的坐標為.
以下分兩種情況：
（1）當k=0時，點B的坐標是（2,0），線段AB的垂直平分線為y軸，于是
由，得。
（2）當時，線段AB的垂直平分線方程為。
令，解得。由，，

，整理得。故。所以。
綜上，或。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

解析