Question

【題目】設函數f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R． （Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）存在極值點x0 ， 且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0；求證：x1+2x0=0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）若f（x）=x3﹣ax﹣b，則f′（x）=3x2﹣a， 分兩種情況討論：
①、當a≤0時，有f′（x）=3x2﹣a≥0恒成立，
此時f（x）的單調遞增區(qū)間為（﹣∞，+∞），
②、當a＞0時，令f′（x）=3x2﹣a=0，解得x=﹣ 或x= ，
當x＞ 或x＜﹣ 時，f′（x）=3x2﹣a＞0，f（x）為增函數，
當﹣ ＜x＜ 時，f′（x）=3x2﹣a＜0，f（x）為減函數，
故f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，﹣ ），（ ，+∞），減區(qū)間為（﹣ ， ）；
（Ⅱ）若f（x）存在極值點x0 ， 則必有a＞0，且x0≠0，
由題意可得，f′（x）=3x2﹣a，則x02= ，
進而f（x0）=x03﹣ax0﹣b=﹣ x0﹣b，
又f（﹣2x0）=﹣8x03+2ax0﹣b=﹣ x0+2ax0﹣b=f（x0），
由題意及（Ⅰ）可得：存在唯一的實數x1 ， 滿足f（x1）=f（x0），其中x1≠x0 ，
則有x1=﹣2x0 ， 故有x1+2x0=0
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的導數，討論a≤0時f′（x）≥0，f（x）在R上遞增；當a＞0時，由導數大于0，可得增區(qū)間；導數小于0，可得減區(qū)間；（Ⅱ）由條件判斷出a＞0，且x0≠0，由f′（x0）=0求出x0 ， 分別代入解析式化簡f（x0），f（﹣2x0），化簡整理后可得證．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減)．