Question

分別是橢圓：+=1（）的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的上頂點(diǎn)，是直線與橢圓的另一個交點(diǎn)，=60°.
（1）求橢圓的離心率；
（2）已知△的面積為40，求a, b 的值.

Answer 1

（1） ； （2）；

解析試題分析：（1）易知A為短軸上的一個頂點(diǎn)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5d/1/crsjd3.png" style="vertical-align:middle;" />=60°，所以在△AOF₂中，a=AF₂=2c,
所以橢圓的離心率為。
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5d/1/crsjd3.png" style="vertical-align:middle;" />=60°，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得：，設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/42/8/1vyl32.png" style="vertical-align:middle;" />，所以0+x₀=,所以x₀=,y₀=,
所以=40…………………………………………………………①
又………………………………②
①②聯(lián)立解得：。
考點(diǎn)：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)；直線與橢圓的綜合問題。
點(diǎn)評：研究直線與橢圓的綜合問題，通常有兩種思路：一是轉(zhuǎn)化為研究方程組的解的問題，利用直線方程與橢圓方程所組成的方程組消去一個變量后，將交點(diǎn)問題（包括公共點(diǎn)個數(shù)、與交點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的問題）轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及判別式解決問題；二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．