Question

已知：x∈N^*，y∈N^*，且 （n∈N^*）．
（Ⅰ）當(dāng)n=3時(shí)，求x+y的最小值及此時(shí)的x、y的值；
（Ⅱ）若n∈N^*，當(dāng)x+y取最小值時(shí)，記a_n=x，b_n=y，求a_n，b_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)S_n=a₁+a₂+…+a_n，T_n=b₁+b₂+…+b_n，試求的值．
注：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當(dāng)n=3時(shí)，則有則可求最小值及此時(shí)的x，y的值，
（Ⅱ）由可得，當(dāng)時(shí)取等號(hào)的條件可得a_n，b_n
（Ⅲ）利用等差數(shù)列的求和公式可得S_n=a₁+a₂+…+a_n，利用分組組求和及等差、等比數(shù)列的求和公式可求T_n=b₁+b₂+…+b_n，代入可求極限
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=3時(shí)，則有
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．所以，當(dāng)時(shí)，x+y的最小值為16．
（Ⅱ）∵，，∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．所以，a_n=n+1，b_n=n（n+1）．
（Ⅲ）因?yàn)镾_n=a₁+a₂+…+a_n=，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=（1+1²）+（2+2²）+（3+3²）+…+（n+n²）=（1+2+3+…+n）+（1²+2²+…+n²）==
所以．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合性比較好的試題，題目中考查了基本不等式在求解最值及取得最值的條件中的應(yīng)用，還考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式及分組求和的方法的應(yīng)用．