Question

將數(shù)列{a_n}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如數(shù)表：
記表中的第一列數(shù)a₁，a₂，a₄，a₇…構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，b₁=a₁=1．S_n為數(shù)列{b_n} 的前n項(xiàng)和，且滿足

2bn

bnSn- S 2 n

=1（n≥2）．
（1）求b₂，b₃，b₄ 的值；
（2）證明數(shù)列{

1

Sn

}成等差數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個(gè)正數(shù)．當(dāng)
a₈₁=-

4

91

時(shí)，設(shè)上表中第k（k≥3）行所有項(xiàng)的和為M_k，求M_k．

Answer 1

分析：（1）由

2bn

bnSn- S 2 n

=1（n≥2），可得2bn=bnSn-

S

2 n

．又b₁=1．分別令n=2，3，4即可得出．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1，代入2bn=bnSn-

S

2 n

，經(jīng)過變形即可證明．
（3）由表格可知：前n行共有

n(n+1)

2

個(gè)數(shù)．當(dāng)n=12時(shí)，

12×13

2

=78．可知：a₈₁是第13行的第3個(gè)數(shù)．由于第13行的第1個(gè)數(shù)是b₁₃=

-2

13×14

=-

1

91

．設(shè)公比為q．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得q．由于上表中第k（k≥3）行的第一個(gè)數(shù)為bk=

-2

k(k+1)

．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出所有項(xiàng)的和M_k．

解答：解：（1）∵

2bn

bnSn- S 2 n

=1（n≥2），∴2bn=bnSn-

S

2 n

．
又b₁=1．
取n=2，則2b₂=（1+b₂）（b₂-b₂-1），化為2b₂=-1-b₂，解得b2=-

1

3

．
取n=3．則2b₃=(1-

1

3

+b3)(b3-b3+

1

3

-1)，解得b₃=-

1

6

．
取n=4，則2b4=(1-

1

3

-

1

6

+b4)(b4-b4+

1

6

+

1

3

-1)，解得b₄=-

1

10

．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1，代入2bn=bnSn-

S

2 n

可得(Sn-2)(Sn-Sn-1)-

S

2 n

=0，
化為2S_n-1-2S_n-S_nS_n-1=0，
化為

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，
∴數(shù)列{

1

Sn

}成等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為

1

2

．
∴

1

Sn

=1+

1

2

(n-1)，解得Sn=

2

n+1

．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=

2

n+1

-

2

n

=

-2

n(n+1)

．
∴bn=

1，n=1 -2 n(n+1) ，n≥2

．
（3）由表格可知：前n行共有

n(n+1)

2

個(gè)數(shù)．
當(dāng)n=12時(shí)，

12×13

2

=78．
可知：a₈₁是第13行的第3個(gè)數(shù)．
∵第13行的第1個(gè)數(shù)是b₁₃=

-2

13×14

=-

1

91

．
設(shè)公比為q．則-

4

91

=-

1

91

×q2，q＞0，解得q=2．
由于上表中第k（k≥3）行的第一個(gè)數(shù)為bk=

-2

k(k+1)

．
故所有項(xiàng)的和M_k=

-2 k(k+1) (2k-1)

2-

=

-2

k(k+1)

(2k-1)．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了遞推式的意義、利用“當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1”求S_n、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了分析問題和解決問題的能力、考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．