Question

將數(shù)列{a_n}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下表：
記表中的第一列數(shù)a₁，a₂，a₄，a₇，…，構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，b₁=a₁=1，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，且滿足

2bn

bnSn- S 2 n

=1(n≥2)．
（1）求證數(shù)列{

1

Sn

}成等差數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）上表中，若a₈₁項(xiàng)所在行的數(shù)按從左到右的順序構(gòu)成等比數(shù)列，且公比q為正數(shù)，求當(dāng)a81=-

4

91

時(shí)，公比q的值．

Answer 1

分析：（1）由

2bn

bnSn- S 2 n

=1，知

2(Sn-Sn-1)

-Sn-1Sn

=1，所以

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，由此能夠推導(dǎo)出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）因?yàn)?span id="trtt4ag" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">1+2+3+…+12=

12×13

2

=78，所以表中第1行至第12行共含有數(shù)列{a_n}的前78項(xiàng)，故a₈₁在表中第13行第三列，由此能求出當(dāng)a81=-

4

91

時(shí)，公比q的值．

解答：解：（1）由已知，當(dāng)n≥2時(shí)，

2bn

bnSn- S 2 n

=1，又b_n=S_n-S_n-1，（1分）
所以

2(Sn-Sn-1)

(Sn-Sn-1)Sn- S 2 n

=1．（2分）
即

2(Sn-Sn-1)

-Sn-1Sn

=1，所以

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，（4分）
又S₁=b₁=a₁=1，所以數(shù)列{

1

Sn

}是首項(xiàng)為1，公差為

1

2

的等差數(shù)列．（5分）
所以

1

Sn

=

1

S1

+

1

2

(n-1)=

n+1

2

，即Sn=

2

n+1

．（7分）
所以，當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1=

2

n+1

-

2

n-1+1

=-

2

n(n+1)

，（9分）
因此bn=

1(n=1) - 2 n(n+1) (n≥2).

（10分）
（2）因?yàn)?span id="rudkfyr" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">1+2+3+…+12=

12×13

2

=78，
所以表中第1行至第12行共含有數(shù)列{a_n}的前78項(xiàng)，故a₈₁在表中第13行第三列．（12分）
所以，a81=b13q2=-

4

91

，（13分）
又b13=-

2

13×14

，所以q=2．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要靈活運(yùn)用數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法，合理地利用遞推公式，仔細(xì)審題，認(rèn)真解答．