Question

（本小題滿分13分）如圖所示，四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是棱上的動(dòng)點(diǎn)．

（Ⅰ）若是的中點(diǎn)，求證：//平面；
（Ⅱ）若，求證：；
（III）在（Ⅱ）的條件下，若，求四棱錐的體積．

Answer 1

（1）根據(jù)底面為菱形， 所以為的中點(diǎn)．
因?yàn)?是的中點(diǎn)，所以從而得證。
（2）根據(jù)已知的條件得到平面，然后結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理得到結(jié)論
（3）

試題分析：（Ⅰ）證明:連結(jié)，交于．

因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004126389534.png" style="vertical-align:middle;" />為菱形， 所以為的中點(diǎn)．
因?yàn)?是的中點(diǎn)，所以 ，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004126639418.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以平面． …………………4分
（Ⅱ）證明：因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004126389534.png" style="vertical-align:middle;" />為菱形，
所以，為的中點(diǎn)．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004126795464.png" style="vertical-align:middle;" />，所以 ．   
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004126826598.png" style="vertical-align:middle;" />，所以 平面．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004126873458.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以 ．                   ………………………………8分
（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004126920509.png" style="vertical-align:middle;" />，所以△為等腰三角形 ．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004126389292.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)，所以．
由（Ⅱ）知，且，
所以平面，即為四棱錐的高． 
因?yàn)樗倪呅问沁呴L為2的菱形，且，
所以．
所以 ．              ……………12分
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用空間的線面平行和線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理來證明平行與垂直同時(shí)根據(jù)等體積法來求解體積。屬于中檔題。