Question

【題目】已知函數(shù)（，）.

（1）當（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，

（i）若在上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍；

（ii）若（），求在上的最大值；

（2）當時，，，數(shù)列滿足.求證：.

Answer 1

【答案】（1）（i）.（ii）（2）見解析

【解析】

（1）時，（i），，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，推出m的范圍.（ii）（），.通過

①當時，②當時，③當時，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解函數(shù)的最值.

（2）時，，，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的通項公式，利用不等式求解結(jié)果即可.

（1）時，（i），，

故在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；

故在上恰有兩個相異實根，

故，解得.

（ii）（），∴.

①當時，，在上為增函數(shù)，則此時；

②當時，，在上為增函數(shù)，

故在上為增函數(shù)，此時；

③當時，，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

若，即時，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

此時，

若，即時，在上為增函數(shù)，則此時；

綜上所述：.

（2）時，，，

即，

所以.