Question

【題目】已知函數(shù)（，）.

（1）當(dāng)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，

（i）若在上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（ii）若（），求在上的最大值；

（2）當(dāng)時(shí)，，，數(shù)列滿足.求證：.

Answer 1

【答案】（1）（i）.（ii）（2）見解析

【解析】

（1）時(shí)，（i），，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，推出m的范圍.（ii）（），.通過

①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解函數(shù)的最值.

（2）時(shí)，，，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的通項(xiàng)公式，利用不等式求解結(jié)果即可.

（1）時(shí)，（i），，

故在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；

故在上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，

故，解得.

（ii）（），∴.

①當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，則此時(shí)；

②當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，

故在上為增函數(shù)，此時(shí)；

③當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

若，即時(shí)，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

此時(shí)，

若，即時(shí)，在上為增函數(shù)，則此時(shí)；

綜上所述：.

（2）時(shí)，，，

即，

所以.