Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．
（1）當a=1時，求曲線在點（1，0）處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間 上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），

當a=1時，f′（x）=1﹣ ，則f'（1）=0，故曲線在點（1，0）處的切線為y=0

（2）解：f′（x）= （x＞0），則：

①當a≤0時，f'（x）＜0，

此時f（x）在[ ，2]上單減，故f（x）min=f（2）=2a﹣1﹣ln2

②當a＞0時，

（Ⅰ）0＜ ≤ ，即a≥2，f（x）在上單增，故f（x）min=f（ ）= ﹣1+ln2；

（Ⅱ） ＜ ＜2，即 ＜a＜2，f（x）在[ ， ）單減，在[ ，2]單增，故f（x）min=f（ ）=lna．

（Ⅲ） ≥2，即0＜a≤ ，f（x）在[ ，2]上單減，故f（x）min=f（2）=2a﹣1﹣ln2，

綜上f（x）min=

【解析】（1）利用導數(shù)與曲線斜率的公式即可求得結論；（2）分類討論，利用導數(shù)即可求得函數(shù)的最小值．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關知識點，需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．