【題目】已知點(diǎn)，，橢圓C：（）的離心率為，過點(diǎn)且斜率為1的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)，且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點(diǎn).

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，由弦長(zhǎng)公式，結(jié)合橢圓的離心率即可求得橢圓方程；

（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合直線與直線的斜率的和為，即可容易證明.

（1）由題意知，，則，

于是橢圓C的方程可化為，

直線的方程為，

聯(lián)立得.

設(shè)，為兩交點(diǎn)，

則，， 由得（*）

再由弦長(zhǎng)公式得，

解得代入（*）成立，從而，

所以橢圓C的方程為.

（2）設(shè)直線與的斜率分別為，，

如果與x軸垂直，設(shè)：，

由題設(shè)知且，

可得A，B坐標(biāo)分別為，，

則，得，

此時(shí)的方程為，與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，與題意不符.

從而可設(shè)：（）

將代入

得.

由題設(shè)可知，

設(shè)，則，

而

，

由題設(shè)知得，

即，

解得，代入，得，

此時(shí)，

所以過定點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，有一種游戲畫板，要求參與者用六種顏色給畫板涂色，這六種顏色分別為紅色、黃色1、黃色2、黃色3、金色1、金色2，其中黃色1、黃色2、黃色3是三種不同的顏色，金色1、金色2是兩種不同的顏色，要求紅色不在兩端，黃色1、黃色2、黃色3有且僅有兩種相鄰，則不同的涂色方案有（　�。�

A.120種B.240種C.144種D.288種

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為，且與短軸兩端點(diǎn)的連線相互垂直.

（1）求橢圓的方程；

（2）若圓上存在兩點(diǎn)，，橢圓上存在兩個(gè)點(diǎn)滿足：三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，且，求四邊形面積的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為迎接“五一”節(jié)的到來，某單位舉行“慶五一，展風(fēng)采”的活動(dòng)．現(xiàn)有6人參加其中的一個(gè)節(jié)目，該節(jié)目由兩個(gè)環(huán)節(jié)可供參加者選擇，為增加趣味性，該單位用電腦制作了一個(gè)選擇方案：按下電腦鍵盤“Enter”鍵則會(huì)出現(xiàn)模擬拋兩枚質(zhì)地均勻骰子的畫面，若干秒后在屏幕上出現(xiàn)兩個(gè)點(diǎn)數(shù)和，并在屏幕的下方計(jì)算出的值．現(xiàn)規(guī)定：每個(gè)人去按“Enter”鍵，當(dāng)顯示出來的小于時(shí)則參加環(huán)節(jié)，否則參加環(huán)節(jié)．

（1）求這6人中恰有2人參加該節(jié)目環(huán)節(jié)的概率；

（2）用分別表示這6個(gè)人中去參加該節(jié)目兩個(gè)環(huán)節(jié)的人數(shù)，記，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠有兩臺(tái)不同機(jī)器和生產(chǎn)同一種產(chǎn)品各10萬(wàn)件，現(xiàn)從各自生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取20件，進(jìn)行品質(zhì)鑒定，鑒定成績(jī)的莖葉圖如圖所示：

該產(chǎn)品的質(zhì)量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：鑒定成績(jī)達(dá)到的產(chǎn)品，質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)秀；鑒定成績(jī)達(dá)到的產(chǎn)品，質(zhì)量等級(jí)為良好；鑒定成績(jī)達(dá)到的產(chǎn)品，質(zhì)量等級(jí)為合格．將這組數(shù)據(jù)的頻率視為整批產(chǎn)品的概率．

（1）完成下列列聯(lián)表，以產(chǎn)品等級(jí)是否達(dá)到良好以上（含良好）為判斷依據(jù)，判斷能不能在誤差不超過0.05的情況下，認(rèn)為機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品比機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品好；

生產(chǎn)的產(chǎn)品

生產(chǎn)的產(chǎn)品

合計(jì)

良好以上（含良好）

合格

合計(jì)

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，從兩臺(tái)不同機(jī)器和生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取2件，求4件產(chǎn)品中機(jī)器生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量多于機(jī)器生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量的概率；

（3）已知優(yōu)秀等級(jí)產(chǎn)品的利潤(rùn)為12元/件，良好等級(jí)產(chǎn)品的利潤(rùn)為10元/件，合格等級(jí)產(chǎn)品的利潤(rùn)為5元/件，機(jī)器每生產(chǎn)10萬(wàn)件的成本為20萬(wàn)元，機(jī)器每生產(chǎn)10萬(wàn)件的成本為30萬(wàn)元；該工廠決定：按樣本數(shù)據(jù)測(cè)算，兩種機(jī)器分別生產(chǎn)10萬(wàn)件產(chǎn)品，若收益之差達(dá)到5萬(wàn)元以上，則淘汰收益低的機(jī)器，若收益之差不超過5萬(wàn)元，則仍然保留原來的兩臺(tái)機(jī)器．你認(rèn)為該工廠會(huì)仍然保留原來的兩臺(tái)機(jī)器嗎？

附：獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算公式：.

臨界值表：

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】出版商為了解某科普書一個(gè)季度的銷售量（單位：千本）和利潤(rùn)（單位：元/本）之間的關(guān)系，對(duì)近年來幾次調(diào)價(jià)之后的季銷售量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下的10組數(shù)據(jù).

序號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2.4

3.1

4.6

5.3

6.4

7.1

7.8

8.8

9.5

10

18.1

14.1

9.1

7.1

4.8

3.8

3.2

2.3

2.1

1.4

根據(jù)上述數(shù)據(jù)畫出如圖所示的散點(diǎn)圖：

（1）根據(jù)圖中所示的散點(diǎn)圖判斷和哪個(gè)更適宜作為銷售量關(guān)于利潤(rùn)的回歸方程類型？（給出判斷即可，不需要說明理由）

（2）根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果及參考數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程；

（3）根據(jù)回歸方程設(shè)該科普書一個(gè)季度的利潤(rùn)總額為（單位：千元），當(dāng)季銷售量為何值時(shí)，該書一個(gè)季度的利潤(rùn)總額預(yù)報(bào)值最大？（季利潤(rùn)總額=季銷售量×每本書的利潤(rùn)）

參考公式及參考數(shù)據(jù)：

①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的公式分別為.

②參考數(shù)據(jù)：

6.50

6.60

1.75

82.50

2.70

表中.另：.計(jì)算時(shí)，所有的小數(shù)都精確到0.01.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在單位正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，給出以下四個(gè)命題：

異面直線與間的距離為定值；

三棱錐的體積為定值；

異面直線與直線所成的角為定值；

二面角的大小為定值．

其中真命題有( )

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】青島二中學(xué)生民議會(huì)在周五下午高峰時(shí)段，對(duì)公交路甲站和線乙站各隨機(jī)抽取了位乘客，統(tǒng)計(jì)其乘車等待時(shí)間（指乘客從等車到乘上車的時(shí)間，乘車等待時(shí)間不超過分鐘）.將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)按，，，…，分組，制成頻率分布直方圖：

假設(shè)乘客乘車等待時(shí)間相互獨(dú)立.

（1）此時(shí)段，從甲站的乘客中隨機(jī)抽取人，記為事件；從乙站的乘客中隨機(jī)抽取人，記為事件.若用頻率估計(jì)概率，求“兩人乘車等待時(shí)間都小于分鐘”的概率；

（2）此時(shí)段，從乙站的乘客中隨機(jī)抽取人（不重復(fù)抽�。�，抽得在的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）如圖所示，是一個(gè)矩形花壇，其中米，米．現(xiàn)將矩形花壇擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇，要求：在上，在上，對(duì)角線過點(diǎn)，且矩形的面積小于150平方米．

（1）設(shè)長(zhǎng)為米，矩形的面積為平方米，試用解析式將表示成的函數(shù)，并確定函數(shù)的定義域；

（2）當(dāng)的長(zhǎng)度是多少時(shí)，矩形的面積最�。坎⑶笞钚∶娣e．

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