Question

【題目】設(shè)A、B分別為雙曲線 的左右頂點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4 ，焦點(diǎn)到漸近線的距離為 ．
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線 與雙曲線的右支交于M、N兩點(diǎn)，且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D，使 ，求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由實(shí)軸長(zhǎng)為 ，得 ，

漸近線方程為 x，即bx﹣2 y=0，

∵焦點(diǎn)到漸近線的距離為 ，

∴ ，又c2=b2+a2，∴b2=3，

∴雙曲線方程為：

（2）解：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），則x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，

由 ，

∴y1+y2= ﹣4=12，

∴ ，解得 ，∴t=4，

∴ ，t=4

【解析】（1）由實(shí)軸長(zhǎng)可得a值，由焦點(diǎn)到漸近線的距離可得b，c的方程，再由a，b，c間的平方關(guān)系即可求得b；（2）設(shè)M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），D（x0 ， y0），則x1+x2=tx0 ， y1+y2=ty0 ， 則x1+x2=tx0 ， y1+y2=ty0 ， 聯(lián)立直線方程與雙曲線方程消掉y得x的二次方程，由韋達(dá)定理可得x1+x2 ， 進(jìn)而求得y1+y2 ， 從而可得 ，再由點(diǎn)D在雙曲線上得一方程，聯(lián)立方程組即可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得t值；