【題目】已知函數(shù),.
(1)若,求函數(shù)的最值;
(2)討論函數(shù)的零點個數(shù).
【答案】(1)最小值為,最大值為1;(2)當或時,在內(nèi)有1個零點;當時,在內(nèi)無零點.
【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),令,求出極值,再求出端點值即可求解.
(2)由題意將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點個數(shù),對求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)結(jié)合定義域分三種情況討論①當時;②當時;③當時,分別求出函數(shù)的最值和單調(diào)區(qū)間,從而可判斷出函數(shù)零點的個數(shù).
(1)若,則,,
令,解得;
而,,,
故函數(shù)的最小值為,最大值為1.
(2)令,
因為,故,
令,故問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點個數(shù);
而,
①當時,即,當時,,
故在上單調(diào)遞減,
,,
故當,即時,在上恒成立,
當時,在內(nèi)無零點;
當,即,
即時,,
由零點存在性定理可知,此時在內(nèi)有零點,
因為函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減,此時在內(nèi)有一個零點;
②當時,即,當時,,在上單調(diào)遞增,
,,
故當,即時,,
由零點存在性定理,此時在內(nèi)有零點,
因為在內(nèi)單調(diào)遞增,故僅有1個零點;
當時,,此時在內(nèi)無零點;
③當時,即,
當時,,
當時,.
則函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
故,
故,此時在內(nèi)無零點;
綜上所述,當或時,在內(nèi)有1個零點;
當時,在內(nèi)無零點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某次數(shù)學(xué)考試中,從甲乙兩個班各抽取10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進行統(tǒng)計分析,兩個班樣本成績的莖葉圖如圖所示.
(1)用樣本估計總體,若根據(jù)莖葉圖計算得甲乙兩個班級的平均分相同,求的值;
(2)從樣本中任意抽取3名學(xué)生的成績,若至少有兩名學(xué)生的成績相同的概率大于,則該班成績判斷為可疑.試判斷甲班的成績是否可疑?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是定義在上的函數(shù),若對任何實數(shù)以及中的任意兩數(shù)、,恒有,則稱為定義在上的函數(shù).
(1)證明函數(shù)是定義域上的函數(shù);
(2)判斷函數(shù)是否為定義域上的函數(shù),請說明理由;
(3)若是定義域為的函數(shù),且最小正周期為,試證明不是上的函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為,記;
(1)求實數(shù)、的值;
(2)若不等式對任意恒成立,求實數(shù)的范圍;
(3)對于定義在上的函數(shù),設(shè),,用任意的將劃分為個小區(qū)間,其中,若存在一個常數(shù),使得恒成立,則稱函數(shù)為上的有界變差函數(shù);
①試證明函數(shù)是在上的有界變差函數(shù),并求出的最小值;
②寫出是在上的有界變差函數(shù)的一個充分條件,使上述結(jié)論成為其特例;(不要求證明)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的值域;
(2)在中,角所對的邊分別為,,,求的值;
(3)請敘述余弦定理(寫出其中一個式子即可)并加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明與另外2名同學(xué)進行“手心手背”游戲,規(guī)則是:3人同時隨機等可能選擇手心或手背中的一種手勢,規(guī)定相同手勢人數(shù)多者每人得1分,其余每人得0分.現(xiàn)3人共進行了4次游戲,記小明4次游戲得分之和為,則的期望為( )
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對同學(xué)們而言,冬日的早晨離開暖融融的被窩,總是一個巨大的挑戰(zhàn),而咬牙起床的唯一動力,就是上學(xué)能夠不遲到.己知學(xué)校要求每天早晨7:15之前到校,7:15之后到校記為遲到.小明每天6:15會被媽媽叫醒起味,吃早餐、洗漱等晨間活動需要半個小時,故每天6:45小明就可以出門去上學(xué).從家到學(xué)校的路上,若小明選擇步行到校,則路上所花費的時間相對準確,若以隨機變量(分鐘)表示步行到校的時間,可以認為.若小明選擇騎共享單車上學(xué),雖然騎行速度快于步行,不過由于車況、路況等不確定因素,路上所需時間的隨機性增加,若以隨機變量(分鐘)描述騎車到校的時間,可以認為.若小明選擇坐公交車上學(xué),速度很快,但是由于等車時間、路況等不確定因素,路上所需時間的隨機性進一步增加,若以隨機變量(分鐘)描述坐公交車到校所需的時間,則可以認為.
(1)若某天小明媽媽出差沒在家,小明一覺醒來已經(jīng)是6:40了,他抓緊時間洗漱更衣,沒吃早飯就出發(fā)了,出門時候是6:50.請問,小明是否有某種出行方案,能夠保證上學(xué)不遲到?小明此時的最優(yōu)選擇是什么?
(2)已知共享單車每20分鐘收費一元,若小明本周五天都騎共享單車上學(xué),以隨機變量表示這五天小明上學(xué)騎車的費用,求的期望與方差(此小題結(jié)果均保留三位有效數(shù)字)
已知若隨機變量,則%,%,%.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定整數(shù),數(shù)列、、、每項均為整數(shù),在中去掉一項,并將剩下的數(shù)分成個數(shù)相同的兩組,其中一組數(shù)的和與另外一組數(shù)的和之差的最大值記為. 將、、、中的最小值稱為數(shù)列的特征值.
(Ⅰ)已知數(shù)列、、、、,寫出、、的值及的特征值;
(Ⅱ)若,當,其中、且時,判斷與的大小關(guān)系,并說明理由;
(Ⅲ)已知數(shù)列的特征值為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓的左、右頂點分別為A、B,雙曲線以A、B為頂點,焦距為,點P是上在第一象限內(nèi)的動點,直線AP與橢圓相交于另一點Q,線段AQ的中點為M,記直線AP的斜率為為坐標原點.
(1)求雙曲線的方程;
(2)求點M的縱坐標的取值范圍;
(3)是否存在定直線使得直線BP與直線OM關(guān)于直線對稱?若存在,求直線的方程;若不存在,請說明理由.
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