Question

（本題滿分１２分）

如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點.

   （1）求證：MN//平面PAD

   （2）求證：MN⊥CD

   （3）若∠PDA=45°，求證：MN⊥平面PCD.

 

Answer 1

【答案】

見解析。

【解析】本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，求棱錐的體積，證明AE⊥平面PCD 是解題的關(guān)鍵．

（1）取PD的中點E，連結(jié)AE、EN則有EN//CD//AB//AM，

且EN=CD=AB=MA.∴四邊形AMNE是平行四邊形.∴MN//AE.∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN//平面PAD.

（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥AE，即AB⊥MN.又CD//AB，∴MN⊥CD.

（3）取PD的中點E，證明AMNE為平行四邊形，MN∥AE，由等腰直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得AE⊥PD，再由CD⊥AE 可得AE⊥平面PCD，故有MN⊥平面PCD．

證明：（1）如圖，

取PD的中點E，連結(jié)AE、EN則有EN//CD//AB//AM，

且EN=CD=AB=MA.

∴四邊形AMNE是平行四邊形.

∴MN//AE.

∵AE平面PAD，MN平面PAD，

∴MN//平面PAD.

   （2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.

又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.

∴AB⊥AE，即AB⊥MN.又CD//AB，

∴MN⊥CD.

   （3）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.

又∠PAD=45°，E是PD中點，

∴AE⊥PD，即MN⊥PD.

又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD