Question

(1)已知x＞1,求證不等式x＞ln(1+x);

(2)當(dāng)0＜x＜時(shí)，求證tanx＞x+;

(3)當(dāng)x＞0時(shí)，證明：不等式e^x＞1+x+x².

Answer 1

分析：利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式是常用的一種方法.首先構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式.在建立函數(shù)關(guān)系時(shí)，應(yīng)盡可能選擇求導(dǎo)和判斷導(dǎo)數(shù)都比較容易的函數(shù).一般地，若證明f(x)＞g(x)，x∈(a,b)，可以等價(jià)轉(zhuǎn)化證明F(x)=f(x)-g(x)＞0.如果F′(x)＞0,則函數(shù)F(x)在（a,b）上是增函數(shù)，如果F(a)≥0,由增函數(shù)的定義可知，當(dāng)x∈(a,b)時(shí),有F（x）＞0,即f(x)＞g(x).

證明：(1)設(shè)f(x)=x-ln(1+x),x＞1.f′(x)=1-=,由x＞1,知f′(x)＞0.

∴f(x)在（1，+∞)上是增函數(shù).又f(1)=1-ln2＞1-lne=0,即f(1)＞0,

∴f(x)＞f(1)＞0,

即x＞ln(1+x),(x＞1).

(2)設(shè)f(x)=tanx-(x+),則f′(x)=-1-x²=tan²x-x²=(tanx+x)·(tanx-x).

∵x∈(0,).

∴tanx＞x＞0.

∴f′(x)＞0,即f(x)在（0，）內(nèi)遞增.又f(0)=0.

∴當(dāng)x∈(0,)時(shí)，f(x)＞0,即tanx＞x+.

(3)設(shè)f(x)=e^x-1-x-x²,

則f′(x)=e^x-1-x.

下面證明g(x)=e^x-1-x在x＞0時(shí)恒為正.

∵g′(x)=e^x-1,當(dāng)x＞0時(shí)g′(x)=e^x-1＞0.

∴g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).

當(dāng)x＞0時(shí)g(x)＞g(0)=0,

即f′(x)在(0,+∞)上恒為正.

∴f(x)在（0，+∞)上為增函數(shù).

又f(0)=e⁰-1-0-0=0,

∴x＞0時(shí)，f(x)＞f(0)=0.

∴e^x-1-x-x²＞0,

即x＞0時(shí)，e^x＞1+x+x²成立.