Question

如圖,在底面為平行四邊形的四棱柱中，底面，，，.

（1）求證:平面平面；
（2）若，求四棱錐的體積．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）四棱錐的體積為.

解析試題分析：（1）要證平面平面，只需要證明平面，先利用余弦定理求出，再由勾股定理得到，結合平面可得到，由這兩個條件可以證明平面，最終利用平面與平面垂直的判定定理可以證明平面平面；
（2）先由已知條件結合（1）中的數(shù)據(jù)得到的長度，先由（1）中的結論平面得出四邊形為矩形，從而可以計算出矩形的面積，然后取的中點，連接，利用（1）中的結論結合平面與平面垂直的性質定理得到平面，并計算出的長度，最終利用錐體體積公式計算出四棱錐的體積；解法二是將四棱錐分解為兩個三棱錐和三棱錐，利用兩個三棱錐等底同高得到兩個三棱錐的體積相等，從而得到，在計算三棱錐的體積時，利用等體積法計算三棱錐的體積，此時為高，為底，從而計算出三棱錐的體積，最終得到四棱錐的體積.
試題解析：（1）證明： 在中，由余弦定理得：，
所以，所以，即，              3分
又四邊形為平行四邊形，所以，
又底面，底面，所以，              4分
又，所以平面，              5分
又平面，所以平面平面．              6分
（2）法一：連結，∵，∴
∵平面，所以，           8分
所以四邊形的面積，    10分
取的中點，連結，則，且，
又平面平面，