【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線E的極坐標(biāo)方程為，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).點(diǎn)P為曲線E上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段OP的中點(diǎn).

（1）求點(diǎn)Q的軌跡(曲線C)的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)恰好為線段AB的三等分點(diǎn)，求直線l的普通方程.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)Q，P的極坐標(biāo)分別為，，由題意可得，由極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化公式即可得解；

（2）直線參數(shù)方程代入曲線C的方程得，化簡后利用韋達(dá)定理結(jié)合題意即可得解.

（1）設(shè)點(diǎn)Q，P的極坐標(biāo)分別為，，

則且，，

所以，

所以點(diǎn)Q軌跡的極坐標(biāo)方程為，

故Q軌跡的直角坐標(biāo)方程為；

（2）由（1）得曲線C的直角坐標(biāo)方程為，

將直線參數(shù)方程代入曲線C的方程得，

即，，

由點(diǎn)恰好為線段AB的三等分點(diǎn)，不妨設(shè)方程兩根為，

所以，即，所以，

又與在一、三象限同號，二、四象限異號，

所以直線的斜率，又直線過，

故直線的普通方程為或.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖，在三棱柱中，，側(cè)面為矩形，．將繞翻折至，使在平面內(nèi)．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

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【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是平行四邊形，，，.

（1）求PC的長；

（2）求AP與平面PBC所成角的正弦值.

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【題目】已知點(diǎn)A（0，4），拋物線C：x2＝2py（0＜p＜4）的準(zhǔn)線為1，點(diǎn)P在C上，作PH⊥l于H，且|PH|＝|PA|，∠APH＝120°，則拋物線方程為_____.

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【題目】已知實(shí)數(shù)x，y滿足x+4y＝2.

（1）若|1+y|＜|x|﹣2，求x的取值范圍；

（2）若x＞0，y＞0，求的最小值.

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【題目】已知拋物線C：，過點(diǎn)且互相垂直的兩條動直線，與拋物線C分別交于P，Q和M，N.

（1）求四邊形面積的取值范圍；

（2）記線段和的中點(diǎn)分別為E，F，求證：直線恒過定點(diǎn).

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【題目】己知函數(shù)的定義域是，對任意的，有.當(dāng)時，.給出下列四個關(guān)于函數(shù)的命題：

①函數(shù)是奇函數(shù)；

②函數(shù)是周期函數(shù)；

③函數(shù)的全部零點(diǎn)為，；

④當(dāng)算時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且只有4個公共點(diǎn).

其中，真命題的個數(shù)為（ ）

A.1B.2C.3D.4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】國際上通常用年齡中位數(shù)指標(biāo)作為劃分國家或地區(qū)人口年齡構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)：年齡中位數(shù)在20歲以下為“年輕型”人口；年齡中位數(shù)在20～30歲為“成年型”人口；年齡中位數(shù)在30歲以上為“老齡型”人口．

如圖反映了我國全面放開二孩政策對我國人口年齡中位數(shù)的影響．據(jù)此，對我國人口年齡構(gòu)成的類型做出如下判斷：①建國以來直至2000年為“成年型”人口；②從2010年至2020年為“老齡型”人口；③放開二孩政策之后我國仍為“老齡型”人口．其中正確的是（ ）

A.②③B.①③C.②D.①②

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（2）若過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，求的取值范圍.

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