Question

【題目】如果函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且存在實(shí)常數(shù)a，使得對(duì)于定義域內(nèi)任意x，都成立，則稱此函數(shù)具有“性質(zhì)”

（1）判斷函數(shù)是否具有“性質(zhì)”，若具有“性質(zhì)”，求出所有a的值的集合；若不具有“性質(zhì)”，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）已知函數(shù)具有“性質(zhì)”，且當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；

（3）已知函數(shù)具有“性質(zhì)”，又具有“性質(zhì)”，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)的圖像與直線有2017個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)p的值.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)具有“性質(zhì)”，所有a的值的集合為（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（3）

【解析】

（1）根據(jù)題意可知，故而，；

（2）由新定義可推出為偶函數(shù)，從而求出在，上的解析式，討論與，的關(guān)系判斷的單調(diào)性得出的最值；

（3）根據(jù)新定義可知為周期為2的偶函數(shù)，作出的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象得出的值．

解：（1）假設(shè)具有“性質(zhì)”，則恒成立，

，

函數(shù)具有“性質(zhì)”，且所有的值的集合為，．

（2）因?yàn)楹瘮?shù)具有“性質(zhì)”，所以恒成立，

是偶函數(shù)．

設(shè)，則，．

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上遞增，值域?yàn)?/span>，．

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上遞減，在，上遞增，

，，值域?yàn)?/span>，．

③當(dāng)時(shí)，，，值域?yàn)?/span>，．

④時(shí)，函數(shù)在，上遞減，值域?yàn)?/span>，．

（3）既具有“性質(zhì)”，即，函數(shù)偶函數(shù)，

又具有“（2）性質(zhì)”，即，

函數(shù)是以2為周期的函數(shù)．

作出函數(shù)的圖象如圖所示：

由圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與直線交于點(diǎn)，，即有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，不合題意．

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，上，函數(shù)有1008個(gè)周期，要使函數(shù)的圖象與直線有2017個(gè)交點(diǎn)，

則直線在每個(gè)周期內(nèi)都有2個(gè)交點(diǎn)，且第2017個(gè)交點(diǎn)恰好為，所以．

同理，當(dāng)時(shí)，．

綜上，．