Question

已知指數(shù)函數(shù)y=g（x）滿足：g(-3)=

1

8

，定義域為R的函數(shù)f（x）=

-g(x)+n

2g(x)+m

是奇函數(shù)．
（1）確定函數(shù)g（x）與f（x）的解析式；
（2）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出指數(shù)函數(shù)y=g（x），通過滿足：g(-3)=

1

8

，即可求出y=g（x）的解析式；0滿足函數(shù)的表達式，利用f（0）=0，f（1）=-f（-1），解方程組即可求出m，n的值，得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由已知易知函數(shù)f（x）在定義域f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．我們可將f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于實數(shù)t的不等式組，解不等式組，即可得到實數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（1）∵指數(shù)函數(shù)y=g（x）=a^x滿足：g(-3)=

1

8

，a-3=

1

8

∴a=2；
∴g（x）=2^x；所以f（x）=

-2x+n

2x+1+m

，因為它是奇函數(shù)．0是函數(shù)的定義域的值，
所以f（0）=0，即

n-1

2+m

=0，∴n=1；
∴f（x）=

-2x+1

2x+1+m

，又由f（1）=-f（-1）知

1-2

4 +m

=-

1- 1 2

1 +m

，∴m=2；
f（x）=

-2x+1

2x+1+2

．
（2）由（1）知f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
易知f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．
又因f（x）是奇函數(shù)，從而不等式：
f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等價于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因f（x）為減函數(shù)，由上式推得：t²-2t＞k-2t²，
即對一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，
從而判別式△=4+12k＜0，解得：k＜-

1

3

．

點評：本題是中檔題；考查的知識點：待定系數(shù)法求指數(shù)函數(shù)的解析式，函數(shù)的奇偶性和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，其中根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于實數(shù)t的不等式組是解答本題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，考查了運算能力和靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力．