Question

已知指數(shù)函數(shù)y=g（x）過點(diǎn)（1，3），函數(shù)f(x)=

-g(x)+n

g(x)+1

是R上的奇函數(shù)．
（I）求y=g（x）的解析式；
（II）求n的值并用定義域判定y=f（x）的單調(diào)性；
（III）討論關(guān)于x的方程xf（x）=m的解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=g（x）滿足：g（1）=3，即可求出y=g（x）的解析式；由題意知f（0）=0，解方程組即可求出n的值，即可求出y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，判斷f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷y=f（x）在R上的單調(diào)性；
（III）方程xf（x）=m即

-3x+1

3x+1

=

m

x

，對(duì)字母m進(jìn)行分類討論，分別考察左右兩邊函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得出答案．

解答：解：（I）設(shè)g（x）=a^x（a＞0，a≠1），由g（1）=3得a=3，故g（x）=3^x，…（2分）
∵函數(shù)f(x)=

-g(x)+n

g(x)+1

=

-3x+n

3x+1

是奇函數(shù)
∴f（0）=

-30+n

30+1

=0
∴n=1；
∴f（x）=

-3x+1

3x+1

（II）f（x）=

-3x+1

3x+1

在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，理由如下：
設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=

-3x1+1

3x1+1

-

-3x2+1

3x2+1

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．
（III）方程xf（x）=m即

-3x+1

3x+1

=

m

x

，
分別考察左右兩邊函數(shù)的圖象，
當(dāng)m＞0時(shí)，兩圖象沒有交點(diǎn)，即方程xf（x）=m的解的個(gè)數(shù)為0；
當(dāng)m=0時(shí)，兩圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即方程xf（x）=m的解的個(gè)數(shù)為1；
當(dāng)m＜0時(shí)，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程xf（x）=m的解的個(gè)數(shù)為2；

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：待定系數(shù)法求指數(shù)函數(shù)的解析式，函數(shù)的奇偶性和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，是函數(shù)問題的簡(jiǎn)單綜合應(yīng)用，難度中等．