Question

【題目】在直角坐標系中，橢圓C1： 的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 其中F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點，點P為C1與C2在第一象限的交點，且 ．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過F2且與坐標軸不垂直的直線交橢圓于M、N兩點，若線段OF2上存在定點T（t，0）使得以TM、TN為鄰邊的四邊形是菱形，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）拋物線y2=4x的焦點為（1，0）， ，∴ ，

∴ ，∴ ，

又F2（1，0），∴F1（﹣1，0），

∴ ，∴a=2，

又∵c=1，∴b2=a2﹣c2=3，

∴橢圓方程是： ．

（Ⅱ）設(shè)MN中點為D（x0，y0），∵以TM、TN為鄰邊的四邊形是菱形，

∴TD⊥MN，

設(shè)直線MN的方程為x=my+1，

聯(lián)立 ，整理得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

∵F2在橢圓內(nèi)，∴△＞0恒成立，

∴ ，

∴ ，∴ ，

∴kTDkMN=﹣1，即 ，

整理得 ，

∵m2＞0，∴3m2+4∈（4，+∞），∴ ，

∴t的取值范圍是 ．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意由已知可列出方程組求出a、b的值，因此能求出橢圓的方程。（Ⅱ）設(shè)出中點的坐標根據(jù)題意的垂直關(guān)系可設(shè)出直線的方程再聯(lián)立橢圓的方程消去x得到關(guān)于y的一元二次函數(shù)，利用韋達定理、根的判別式、兩直線的垂直的關(guān)系再結(jié)合已知條件即可求出t的取值范圍。