Question

已知函數(shù)f(x)= ax+b 1+x2 是定義域為(-1，1)的奇函數(shù)，且f( 1 2 )= 2 5 . (1)求實數(shù)a、b的值； (2)判斷f(x)在(-1，1)上的單調(diào)性，并用定義證明； (3)解不等式：f(t-1)+f(t)＜0.

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得f（0）=0，又f（

1

2

）=

2

5

，解方程組即可求得a，b；
（2）在（-1，1）上任取兩數(shù)x₁，x₂，且-1＜x₁＜x₂＜1，利用作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小，根據(jù)單調(diào)性的定義即可判斷證明其單調(diào)性；
（3）借助函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可去掉不等式中的符號“f”，從而變?yōu)榫唧w不等式，注意考慮函數(shù)定義域．

解答：解：（1）由題意可得

f(0)=0 f( 1 2 )= 2 5

，即

b=0 1 2 a+b 1+ 1 4 = 2 5

，解得a=1，b=0．
（2）f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，下面證明：
在（-1，1）上任取兩數(shù)x₁，x₂，且-1＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂0，
故f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)．
（3）f（x）為奇函數(shù)，定義域為（-1，），
由f（t-1）+f（t）＜0，得f（t-1）＜-f（t）=f（-t），
因為f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)，
所以-1＜t-1＜-t＜1，解得0＜t＜

1

2

．
所以原不等式的解集為{t|0＜t＜

1

2

}．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，考查抽象不等式的求解，定義是判斷函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的常用方法，而解抽象不等式則往往運用函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為具體不等式求解．