Question

【題目】已知函數(shù)。

（1）若，試判斷的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

（2）若恒成立，求的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2) .

【解析】試題分析：（1）若，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可判斷的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）法一： 恒成立等價(jià)于恒成立，令，設(shè)，則，再令，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，從而可得到的單調(diào)性，即可求得的取值范圍；法二：構(gòu)造令，得到，令，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可得的最小值，從而可得的取值范圍.

試題解析：（1）若， ， .

∴當(dāng)， ， 單調(diào)遞減；當(dāng)， ， 單調(diào)遞增.

∴.

∴函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0　　　

（2）若，變形得到： .

法一：令，得到.

設(shè)，則.

令，則，可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

∴，則.

∴在上單調(diào)遞減

當(dāng)， ，則.

∴.

法二：令，得到，

令，則， ，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴，即在上單調(diào)遞增

∴當(dāng)時(shí)， ，即，

∴