Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x﹣a（x+1）ln（x+1），（x＞﹣1，a≥0）
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，若方程f（x）=t在 上有兩個實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）證明：當(dāng)m＞n＞0時，（1+m）n＜（1+n）m ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=1﹣aln（x+1）﹣a
①a=0時，f′（x）＞0∴f（x）在（﹣1，+∞）上是增函數(shù)
②當(dāng)a＞0時，f（x）在 上遞增，在 單調(diào)遞減
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在 上單調(diào)遞增，在[0，1]上單調(diào)遞減
又
∴
∴當(dāng) 時，方程f（x）=t有兩解
（Ⅲ）要證：（1+m）n＜（1+n）m只需證nln（1+m）＜mln（1+n），
只需證：
設(shè) ，則
由（Ⅰ）知x﹣（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）單調(diào)遞減
∴x﹣（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是減函數(shù)，而m＞n
∴g（m）＜g（n），故原不等式成立．
【解析】（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)大于0，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在 上單調(diào)遞增，在[0，1]上單調(diào)遞減可得解（Ⅲ）根據(jù)要證明的結(jié)論，利用分析法來證明本題，從結(jié)論入手，要證結(jié)論只要證明后面這個式子成立，兩邊取對數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為只要證明函數(shù)在一個范圍上成立，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的性質(zhì)．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的證明的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等才能正確解答此題．