Question

【題目】已知橢圓：， 過(guò)點(diǎn)的直線：與橢圓交于M、N兩點(diǎn)（M點(diǎn)在N點(diǎn)的上方），與軸交于點(diǎn)E.

（1）當(dāng)且時(shí)，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，，求證：為定值，并求出該值；

（3）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D和點(diǎn)F關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，若△MNF的內(nèi)切圓面積等于，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）M(0，1)，N (，)；（2）為定值3（3）

【解析】

（1）代值聯(lián)立方程組．解得即可求出，

（2）聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理，以及向量的知識(shí)可得從而，化簡(jiǎn)整理即可證明，

（3）假設(shè)存在直線l：y＝k（x+1）滿足題意，則△MNF的內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，三角形的面積公式，即可求出k的值

解：(1) 當(dāng)m=k=1時(shí)，聯(lián)立，解之得：或，

即M(0，1)，N (，)；

(2) 當(dāng)m=2時(shí)聯(lián)立，消去y得：，

設(shè)M(x1，y1)，N (x2，y2)，則，

由，，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，

得、. 從而

=

=，

為定值3；

(3) 當(dāng)m=3時(shí)，橢圓：，假設(shè)存在直線滿足題意，則△的內(nèi)切圓的半徑為，又、為橢圓的焦點(diǎn)，故△MNF的周長(zhǎng)為8，

從而，

消去，得，設(shè)、，

則.

故，即.

由(2)，得，

化簡(jiǎn)，得，解得，

故存在直線滿足題意．