設(shè)表示數(shù)列的前項(xiàng)和.
(1)若為公比為的等比數(shù)列,寫出并推導(dǎo)的計(jì)算公式;
(2)若,,求證:<1.

(1);(2)證明過程詳見試題解析.

解析試題分析:(1)利用錯位相減法進(jìn)行推導(dǎo),先寫出,然后將此式兩邊同時乘以公比,得到,兩式相減可得:,所以當(dāng)時,有,但是要注意當(dāng)時,;(2)若,那么,所以.注意到,證明過程中采用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行,有.
試題解析:(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/73/2/xi7ak3.png" style="vertical-align:middle;" /> 
所以
將①式乘以公比,可得
①-②得:
所以當(dāng)時,
當(dāng)時,
因此
(2)證明:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/df/a/u8huz1.png" style="vertical-align:middle;" />,所以, 
所以 
因此 

考點(diǎn):等比數(shù)列前項(xiàng)和;數(shù)列不等式證明.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

數(shù)列的通項(xiàng)公式為,等比數(shù)列滿足
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(3)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+1,數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1,公比為b的等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知向量p=(an,2n),q=(2n+1,-an+1),n∈N*pq垂直,且a1=1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=log2an+1,求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Sn.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在1和2之間依次插入n個正數(shù)使得這個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列,將這個數(shù)的乘積記作,令.
(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式;
(2)令,設(shè),求.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足8Sna+4an+3(n∈N*),且a1,a2a7依次是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}及{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在常數(shù)a>0且a≠1,使得數(shù)列{an-logabn}(n∈N*)是常數(shù)列?若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)無窮等比數(shù)列的公比為q,且,表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)(如),記,數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(Ⅰ)若,求;
(Ⅱ)若對于任意不超過的正整數(shù)n,都有,證明:.
(Ⅲ)證明:)的充分必要條件為.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知數(shù)列為等比數(shù)列,其前項(xiàng)和為,已知,且,,成等差,
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)已知),記,若對于恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S1,S3,S2成等差數(shù)列.
(1)求{an}的公比q;
(2)若a1-a3=3,求Sn.

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