Question

直線L：y=k（x+3）與圓O：x²+y²=4交于A、B兩點(diǎn)，則當(dāng)△AOB的面積最大時(shí)，k=

±

14

7

．

Answer 1

分析：由圓的方程找出圓心O坐標(biāo)和半徑r，同時(shí)把直線l的方程整理為一般式方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心O到直線l的距離d，即為圓O中弦AB的弦心距，根據(jù)垂徑定理得到垂足為弦AB的中點(diǎn)，由圓的半徑，弦心距及弦的一半構(gòu)成的直角三角形，利用勾股定理表示出弦AB的長(zhǎng)度，然后利用三角形的面積公式底乘以高除以2，用含有d的式子表示出三角形ABC的面積，并利用基本不等式

ab

≤

a+b

2

求出面積的最大值，以及面積取得最大值時(shí)d的值，從而列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到面積最大時(shí)k的值．

解答：解：由圓O：x²+y²=4，得到圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=2，
把直線l的方程為y=k（x+3），整理為一般式方程得：kx-y+3k=0，
∴圓心O（0，0）到直線AB的距離d=

3|k|

k2+1

，（9分）
弦AB的長(zhǎng)度|AB|=2

r2-d2

=2

4 -d2

，
∴S△ABC=

1

2

|AB|d=d

4-d2

=

d2(4-d2)

≤

d2+(4-d2)

2

=2，（11分）
當(dāng)且僅當(dāng)d²=2時(shí)取等號(hào)，S_△ABC取得最大值，最大值為2，
此時(shí)

9k2

k2+1

=2，解得k=±

14

7

．
故答案為：±

14

7

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線的一般式方程，點(diǎn)到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，以及基本不等式的應(yīng)用，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，常常由弦長(zhǎng)的一半，弦心距，以及圓的半徑構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題．