Question

【題目】教材曾有介紹：圓上的點處的切線方程為.我們將其結論推廣：橢圓（）上的點處的切線方程為，在解本題時可以直接應用.已知，直線與橢圓：（）有且只有一個公共點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設為坐標原點，過橢圓上的兩點、分別作該橢圓的兩條切線、，且與交于點.當變化時，求面積的最大值；

（3）若是橢圓上不同的兩點，軸，圓過且橢圓上任意一點都不在圓內，則稱圓為該橢圓的一個內切圓.試問：橢圓是否存在過左焦點的內切圓？若存在，求出圓心的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）將直線代入橢圓方程，得到的方程，由直線和橢圓相切的條件：判別式為0，解方程可得的值；
（2）設切點，可得切線，再由代入上式，結合兩點確定一條直線，可得切點弦方程，即有的斜率，結合兩點的斜率公式，由①可得的方程為，運用點到直線的距離公式和直線與橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，求得的面積，化簡整理，運用基本不等式即可得到所求最大值；
（3）依題意可得符合要求的圓，即為過點的三角形的外接圓.所以圓心在軸上.根據題意寫出圓的方程.由于圓的存在必須要符合，橢圓上的點到圓距離的最小值是，結合圖形可得圓心在線段上，半徑最小.又由于點已知，即可求得結論.

解：（1）將直線代入橢圓方程，
可得，
由直線和橢圓相切，可得
，
解得（由），
即有橢圓的方程為；
（2）設切點，
可得切線，
由與交于點，可得
，
由兩點確定一條直線，可得的方程為，
即為，
原點到直線的距離為，
由消去，可得，
，
可得，
可得的面積，
設，，
當且僅當即時，取得最大值；

（3）橢圓的對稱性，可以設，點在軸上，設點，
則圓的方程為：，
由內切圓定義知道，橢圓上的點到點距離的最小值是，
設點是橢圓上任意一點，
則，
當時，最小，，①，
又圓過點，，②
點在橢圓上，，③
由①②③，解得：或，
又時，，不合題意，
綜上：橢圓存在符合條件的內切圓，點的坐標是.