Question

【題目】已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,直線(xiàn)與軸交點(diǎn)為,與的交點(diǎn)為,且．

（Ⅰ）求的方程;

（Ⅱ）過(guò)的直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn),若的垂直平分線(xiàn)與相交于兩點(diǎn),且四點(diǎn)在同一圓上,求的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，4），把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)C的方程，求得，根據(jù)求得 p的值，可得C的方程．（Ⅱ）設(shè)l的方程為 x=my+1 （m≠0），代入拋物線(xiàn)方程化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式、弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)|AB|．把直線(xiàn)l′的方程代入拋物線(xiàn)方程化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求得|MN|．由于MN垂直平分線(xiàn)段AB，故AMBN四點(diǎn)共圓等價(jià)于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直線(xiàn)l的方程

試題解析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn),,則由拋物線(xiàn)定義知,

所以得,即的方程為;

（Ⅱ）如右圖所示,設(shè),

中點(diǎn)為,,則由

得,其中恒成立,

所以,

,

易求得,又,

所以,,即,

代入中得,,其中恒成立,

故,,

又易求得的中點(diǎn),

故,而由共圓知,

,即,代入得

,同時(shí)約去且化簡(jiǎn)得

,又,所以,即,也即直線(xiàn)或．