【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）不需證明，直接寫出的奇偶性：

（Ⅱ）討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個零點：

（Ⅲ）設是的一個零點，證明曲線在點處的切線也是曲線的切線．

【答案】（Ⅰ）奇函數(shù)；（Ⅱ）在和上單調(diào)遞增；證明見解析；（Ⅲ）證明見解析．

【解析】

（Ⅰ）先計算出函數(shù)的定義域，然后根據(jù)簡單函數(shù)的奇偶性，簡單判斷可得結果.

（Ⅱ）計算函數(shù)，可得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，然后利用零點存在性定理以及函數(shù)的奇偶性，可得結果.

（Ⅲ）簡單判斷可知點在曲線上，計算直線的斜率以及曲線在點處切線的斜率和曲線在點處切線的斜率即可.

（Ⅰ）定義域為，函數(shù)為奇函數(shù)．

（Ⅱ）因為，

由（Ⅰ）知，為奇函數(shù)，且

所以，在和上單調(diào)遞增．

在上，，

所以在上有唯一零點，即．

又為奇函數(shù)，．

故在上有唯一零點．

綜上，有且僅有兩個零點．

（Ⅲ）因為，故點在曲線上．

由題設知即，連接，

則直線的斜率

曲線在點處切線的斜率是；

曲線在點處切線的斜率也是．

所以曲線在點處的切線也是曲線的切線．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當函數(shù)與函數(shù)圖象的公切線l經(jīng)過坐標原點時，求實數(shù)a的取值集合；

（2）證明：當時，函數(shù)有兩個零點，且滿足．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年女排世界杯（第13屆女排世界杯）是由國際排聯(lián)舉辦的賽事，比賽于2019年9月14日至9月29日在日本舉行，共有12支參賽隊伍.本次比賽啟用了新的排球用球_，已知這種球的質(zhì)量指標ξ（單位：）服從正態(tài)分布.比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊進行11場比賽，最后靠積分選出最后冠軍.積分規(guī)則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以或取勝的球隊積3分，負隊積0分；而在比賽中以取勝的球隊積2分，負隊積1分.9輪過后，積分榜上的前2名分別為中國隊和美國隊，中國隊積26分，美國隊積22分.第10輪中國隊對抗塞爾維亞隊，設每局比賽中國隊取勝的概率為.

（1）如果比賽準備了1000個排球，估計質(zhì)量指標在內(nèi)的排球個數(shù)（計算結果取整數(shù)）

（2）第10輪比賽中，記中國隊取勝的概率為，求出的最大值點，并以作為p的值，解決下列問題.

（i）在第10輪比賽中，中國隊所得積分為X，求X的分布列；

（ii）已知第10輪美國隊積3分，判斷中國隊能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過后，無論最后一輪即第11輪結果如何，中國隊積分最多）？若能，求出相應的概率；若不能，請說明理由.

參考數(shù)據(jù)：，則，

，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2016年春節(jié)期間全國流行在微信群里發(fā)搶紅包，現(xiàn)假設某人將688元發(fā)成手氣紅包50個，產(chǎn)生的手氣紅包頻數(shù)分布表如下：

金額分組

頻 數(shù)

3

9

17

11

8

2

（1）求產(chǎn)生的手氣紅包的金額不小于9元的頻率；

（2）估計手氣紅包金額的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；

（3）在這50個紅包組成的樣本中，將頻率視為概率．

①若紅包金額在區(qū)間內(nèi)為最佳運氣手，求搶得紅包的某人恰好是最佳運氣手的概率；

②隨機抽取手氣紅包金額在內(nèi)的兩名幸運者，設其手氣金額分別為，，求事件“”的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設，，為兩兩不重合的平面，，，為兩兩不重合的直線，給出下列四個命題：

①若，，則；

②若，，，，則；

③若，，則；

④若，，，，則.

其中真命題是（ ）

A.①③B.②④C.③④D.①②

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知離心率為的橢圓的短軸的兩個端點分別為、，為橢圓上異于、的動點，且的面積最大值為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）射線與橢圓交于點，過點作傾斜角互補的兩條直線，它們與橢圓的另一個交點分別為點和點，求的面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）= （a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）

（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在 上無零點，求a的最小值；

（Ⅲ）若對任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形，PA∥CE，AB=CEPA，PA⊥平面ABCD.

（1）證明：PE⊥平面DBE；

（2）求二面角B﹣PD﹣E的正弦值的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】是坐標原點，橢圓：的左右焦點分別為，，點在橢圓上，若的面積最大時且最大面積為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線：與橢圓在第一象限交于點，點是第四象限內(nèi)的點且在橢圓上，線段被直線垂直平分，直線與橢圓交于另一點，求證：.

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