Question

已知曲線(xiàn)S：y=2x-x³．
（1）求曲線(xiàn)S在點(diǎn)A（1，1）處的切線(xiàn)方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)B（2，0）并與曲線(xiàn)S相切的直線(xiàn)方程．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)A處的值為切線(xiàn)方程的斜率可得答案．
（2）先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，然后得出斜率的表達(dá)式求出斜率，最后根據(jù)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程可得答案．

解答：解：（1）∵y=2x-x³∴y'=-3x²+2
當(dāng)x=1時(shí)，y'=-1
∴點(diǎn)A（1，1）處的切線(xiàn)方程為：y-1=（-1）（x-1）  即：x+y-2=0
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2m-m³）
則直線(xiàn)斜率k=

2m-m3

m-2

y'=2-3m²，整理得到：m³-3m²+2=0
m³-m²-2（m²-1）=0
m²（m-1）-2（m+1）（m-1）=0
（m-1）（m²-2m-2）=0
解得m₁=1，m₂=1+

3

，m₃=1-

3

當(dāng)m=1時(shí)：k=2-3m²=-1，直線(xiàn)方程為y=-（x-2）=2-x；
當(dāng)m=1+

3

時(shí)，k=2-3m²=-10-6

3

，直線(xiàn)方程為y=（-10-6

3

）（x-2）
當(dāng)m=1-

3

時(shí)，k=2-3m²=-10+6

3

，直線(xiàn)方程為y=（-10+6

3

）（x-2）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值等于過(guò)該點(diǎn)的曲線(xiàn)的切線(xiàn)的斜率．