Question

已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
（Ⅰ）求證：恒為銳角；
（Ⅱ）若四邊形為菱形，求的值.

Answer 1

（Ⅰ）證明見(jiàn)解析;（Ⅱ）2.

試題分析：（Ⅰ）已知一個(gè)角的兩邊的向量,可以求出這個(gè)角的大小,由題,可以求出向量PA,PB,由向量?jī)?nèi)積公式可求得角的范圍;（Ⅱ）菱形的對(duì)邊平行且四邊相等,向量相等,橫縱坐標(biāo)相等,由題,向量AP=BP,可以求得x=1,由向量PQ=BA,可以求得Q點(diǎn)坐標(biāo),即可求出向量的內(nèi)積.
試題解析：（Ⅰ）∵點(diǎn)在直線上，
∴點(diǎn),
∴，
∴ ,
∴,
若三點(diǎn)在一條直線上，則，
得到，方程無(wú)解，
∴,
∴恒為銳角.
（Ⅱ）∵四邊形為菱形，
∴，即
化簡(jiǎn)得到，
∴，
∴ ,
設(shè)，∵，
∴，
∴,
∴.