【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD∥BC,CD=13,AB=12,BC=10,AD=5,PD=8,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是PB,DC的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求EF與平面PDB所成角的正弦值.

【答案】
(1)證明:取CB的中點(diǎn)G,連結(jié)DG,因?yàn)锳D∥BG且AD=BD,

所以四邊形ABGD為平行四邊形,

所以DG=AB=12,

又因?yàn)锳B⊥AD,

所以DG⊥AD,

又PD⊥平面ABCD,

故以點(diǎn)D原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)锽C=10,AD=5,PD=8,

所以有D(0,0,0),P(0,0,8),B(12,5,0),C(12,﹣5,0),

因?yàn)镋,F(xiàn)分別是PB,DC的中點(diǎn),

所以E(6,﹣2.5,0),F(xiàn)(6,2.5,4),

因?yàn)镻D⊥平面ABCD,DG平面ABCD,

所以PD⊥DG,

又因?yàn)镈G⊥AD,AD∩PD=D,AD,PD平面PAD,

所以DG⊥平面PAD,

所以 =(12,0,0)為平面PAD的一個(gè)法向量,

=(0,5,4), =0,

所以 ,

又EF平面PAD,所以EF∥平面PAD


(2)解:設(shè)平面PAD的法向量為 =(x,y,z),

所以 ,即 ,即

令x=5,則 =(5,﹣12,0)

所以EF與平面PDB所成角θ滿足:

sinθ= = = ,

所以EF與平面PDB所成角的正弦值為


【解析】取CB的中點(diǎn)G,連結(jié)DG,建立空間直角坐標(biāo)系:(1) =(12,0,0)為平面PAD的一個(gè)法向量,根據(jù) ,進(jìn)而可證EF∥面PAD(2)平面PAD的法向量 =(5,﹣12,0),代和線面夾角公式,可得答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng),得到如下的列聯(lián)表:

總計(jì)

愛好

40

20

60

不愛好

20

30

50

總計(jì)

60

50

110

算得,

P(K2≥k)

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

參照附表,得到的正確結(jié)論是(
A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”
C.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
D.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”

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【題目】已知a>0,設(shè)命題p:函數(shù)y=ax在R上單調(diào)增;命題q:不等式ax2﹣ax+1>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立.若p∧q假,p∨q真,則a的取值范圍為

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【題目】農(nóng)科院的專家為了了解新培育的甲、乙兩種麥苗的長(zhǎng)勢(shì)情況,從甲、乙兩種麥苗的試驗(yàn)田中各抽取6株麥苗測(cè)量麥苗的株高,數(shù)據(jù)如下:(單位:cm)

甲:9,10,11,12,10,20

乙:8,14,13,10,12,21.

(1)在給出的方框內(nèi)繪出所抽取的甲、乙兩種麥苗株高的莖葉圖;

(2)分別計(jì)算所抽取的甲、乙兩種麥苗株高的平均數(shù)與方差,并由此判斷甲、乙兩種麥苗的長(zhǎng)勢(shì)情況.

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【題目】綜合題。
(1)四個(gè)不同球放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒中,則恰有一個(gè)空盒的放法有多少種?
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B.8,32
C.8,8
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A.
B.
C.
D.

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