Question

已知下列命題：
①函數(shù)y=sin(-2x+

π

3

)的單調(diào)增區(qū)間是[-kπ-

π

12

，-kπ+

5π

12

](k∈Z)．
②要得到函數(shù)y=cos(x-

π

6

)的圖象，需把函數(shù)y=sinx的圖象上所有點向左平行移動

π

3

個單位長度．
③已知函數(shù)f（x）=2cos²x-2acosx+3，當a≤-2時，函數(shù)f（x）的最小值為g（a）=5+2a．
④y=sinwx（w＞0）在[0，1]上至少出現(xiàn)了100次最小值，則w≥

399

2

π．
其中正確命題的序號是

②③④

．

Answer 1

分析：根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)y=sin(-2x+

π

3

)的單調(diào)增區(qū)間，進而判斷①的真假；
根據(jù)正弦型函數(shù)圖象的平移變換法則，求出平移后的函數(shù)解析式，與已知函數(shù)解析式進行比較可判斷②的真假；
根據(jù)余弦函數(shù)的值域及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析出函數(shù)的最小值，即可判斷③的真假；
根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和周期性，分析出滿足條件時，周期的范圍，進而求出ω的范圍，可判斷④的真假；

解答：解：y=sin(-2x+

π

3

)=sin[π-(-2x+

π

3

)]=y=sin(2x+

2π

3

)，
由2x+

2π

3

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z）得：x∈[kπ-

7π

12

，kπ-

π

12

](k∈Z)
即函數(shù)y=sin(-2x+

π

3

)的單調(diào)增區(qū)間是[kπ-

7π

12

，kπ-

π

12

](k∈Z)，故①錯誤；
把函數(shù)y=sinx的圖象上所有點向左平行移動

π

3

個單位長度，可得函數(shù)y=y=sin（x+

π

3

）=sin[（x-

π

6

）+

π

2

]=cos(x-

π

6

)的圖象，故②正確；
令t=cosx，t∈[-1，1]，則函數(shù)f（x）=2cos²x-2acosx+3可化為y=2t²-2at+3，若a≤-2時，則t=-1時，函數(shù)f（x）的最小值為5+2a，故③正確．
∵y=sinwx在y軸右側(cè)第一次取最小值時，在

3

4

個周期處，故y=sinwx（w＞0）在[0，1]上至少出現(xiàn)了100次最小值，說明在[0，1]上至少有99

3

4

個周期，
則1≥99

3

4

×T，即1≥99

3

4

×

2π

ω

，解得w≥

399

2

π，故④正確．
故答案為：②③④

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及平移變換，熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．