Question

已知函數f（x）和g（x）的圖象關于點（1，1）對稱，且f（x）=2^x．
（Ⅰ）求函數g（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=f（x）-λg（x）+2λ（λ＞0）在[1，+∞）上是增函數，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設函數y=f（x）的圖象上任意一點Q（x，y）關于點（1，1）的對稱點為P（x，y），則由點Q（x，y）在函數y=f（x）的圖象上可得，，從而可求y=f（x）
（Ⅱ） 由（I）可得h（x）=在[1，+∞）上是增函數，即可得當1≤x₁＜x₂時，h（x₂）-h（x₁）＞0，，從而可求
解答：解：（Ⅰ）設函數y=f（x）的圖象上任意一點Q（x，y）關于點（1，1）的對稱點為P（x，y），則（4分）
∵點Q（x，y）在函數y=f（x）的圖象上，
∴2-y=2^2-x，即y=2-2^2-x，故g（x）=2-2^2-x．（6分）
（Ⅱ） =（7分）
設1≤x₁＜x₂，
==
=（10分）
h（x）=f（x）-λg（x）+2λ（λ＞0）在[1，+∞）上是增函數h（x₂）-h（x₁）＞0，
（12分）
，∵x₂＞x₁≥1，⇒x₂+x₁＞2，
，∴4≥4λ∴0＜λ≤1為所求                                            （14分）
點評：本題主要考查了關于點對稱的函數的解析式的求解，主要利用的是中點坐標公式，函數的單調性的定義的應用及單調性中的恒成立的問題．