Question

（2008•寶山區(qū)二模）已知點A（1，2），過點P（5，-2）的直線與拋物線y²=4x相交于B，C兩點，則△ABC是（　�。�

A．直角三角形

B．鈍角三角形

C．銳角三角形

D．不能確定

Answer 1

分析：先討論直線BC斜率不存在時，求出B，C的坐標，求出AB、AC斜率，求出k_AB•k_AC=-1，得到三角形ABC是直角三角形，當BC斜率存在時設出其方程，聯(lián)立BC的方程與拋物線的方程，利用韋達定理，表示出AB、AC斜率，求出k_AB•k_AC=-1，得到三角形ABC是直角三角形．

解答：解：當BC斜率不存在時，方程為x=5，
代入拋物線方程y²=4x得
B(5，2

5

)，C(5，-2

5

)
所以AB斜率是kAB=

2 5 -2

5-1

=

5 -1

2

，
AC斜率是kAC=

-2 5 -2

5-1

=

- 5 -1

2

所以k_AB•k_AC=-1，
所以AB與AC垂直，
所以三角形ABC是直角三角形當BC斜率存在時，顯然不能為0，否則與拋物線只有一個公共點，
所以設方程為x-5=a（y+2）（a是斜率的倒數(shù)），
代入拋物線方程化簡得y²-4ay-8a-20=0 設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則y₁+y₂=4a，y₁y₂=-8a-20 x₁+x₂=（ay₁+2a+5）+（ay₂+2a+5）=a（y₁+y₂）+4a+10=4a²+4a+10 x₁x₂=（ay₁+2a+5）（ay₂+2a+5）=4a²+20a+25 kAB•kAC=

y1-2

x1-1

•

y2-2

x2-1

因為（y₁-2）（y₂-2）=y₁y₂-2（y₁+y₂）+4=-16a-16 （x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=16a+16 所以AB和AC斜率乘積等于-1，
即AB垂直于AC．綜上可知，三角形ABC是直角三角形
故選A．

點評：解決直線與圓錐曲線的位置關系問題，一般講直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，利用韋達定理找突破口．