Question

【題目】設(shè)首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，且，其中p為常數(shù)．

（1）求p的值；

（2）求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；

（3）證明：“數(shù)列an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)”的充要條件是“x＝1，且y＝2”．

Answer 1

【答案】（1）p＝2；（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）取n＝1時(shí)，由得p＝0或2，計(jì)算排除p＝0的情況得到答案.

（2），則，相減得到3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn，再化簡得到，得到證明.

（3）分別證明充分性和必要性，假設(shè)an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)，計(jì)算化簡得2x﹣2y﹣2＝1，設(shè)k＝x﹣（y﹣2），計(jì)算得到k＝1，得到答案.

（1）n＝1時(shí)，由得p＝0或2，若p＝0時(shí)，，

當(dāng)n＝2時(shí)，，解得a2＝0或，

而an＞0，所以p＝0不符合題意，故p＝2；

（2）當(dāng)p＝2時(shí)，①，則②，

②﹣①并化簡得3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn③，則3an+2＝4﹣Sn+2﹣Sn+1④，

④﹣③得（n∈N*），

又因?yàn)?/span>，所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且；

（3）充分性：若x＝1，y＝2，由知an，2xan+1，2yan+2依次為，，，

滿足，即an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列；

必要性：假設(shè)an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)，又，

所以，化簡得2x﹣2y﹣2＝1，

顯然x＞y﹣2，設(shè)k＝x﹣（y﹣2），

因?yàn)?/span>x、y均為整數(shù)，所以當(dāng)k≥2時(shí)，2x﹣2y﹣2＞1或2x﹣2y﹣2＜1，

故當(dāng)k＝1，且當(dāng)x＝1，且y﹣2＝0時(shí)上式成立，即證．