【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,側(cè)面ABB1A1是邊長(zhǎng)為2的正方形,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在線段AA1、A1B1上,且AE= ,A1F= ,CE⊥EF.
(Ⅰ)證明:平面ABB1A1⊥平面ABC;
(Ⅱ)若CA⊥CB,求直線AC1與平面CEF所成角的正弦值.

【答案】證明:(I)取AB的中點(diǎn)D,連結(jié)CD,DF,DE. ∵AC=BC,D是AB的中點(diǎn),∴CD⊥AB.
∵側(cè)面ABB1A1是邊長(zhǎng)為2的正方形,AE= ,A1F=
∴A1E= ,EF= = ,DE= =
DF= = ,
∴EF2+DE2=DF2 , ∴DE⊥EF,
又CE⊥EF,CE∩DE=E,CE平面CDE,DE平面CDE,
∴EF⊥平面CDE,又CD平面CDE,
∴CD⊥EF,
又CD⊥AB,AB平面ABB1A1 , EF平面ABB1A1 , AB,EF為相交直線,
∴CD⊥平面ABB1A1 , 又CDABC,
∴平面ABB1A1⊥平面ABC.
(II)∵平面ABB1A1⊥平面ABC,
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,∴CC1⊥平面ABC.
∵CA⊥CB,AB=2,∴AC=BC=
以C為原點(diǎn),以CA,CB,CC1為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:

則A( ,0,0),C(0,0,0),C1(0,0,2),E( ,0, ),F(xiàn)( , ,2).
=(﹣ ,0,2), =( ,0, ), =( ,2).
設(shè)平面CEF的法向量為 =(x,y,z),則 ,
,令z=4,得 =(﹣ ,﹣9 ,4).
=10,| |=6 ,| |=
∴cos< >= =
∴直線AC1與平面CEF所成角的正弦值為
【解析】(I)取AB的中點(diǎn)D,連結(jié)CD,DF,DE.計(jì)算DE,EF,DF,利用勾股定理的逆定理得出DE⊥EF,由三線合一得CD⊥AB,故而CD⊥平面ABB1A1 , 從而平面ABB1A1⊥平面ABC;(II)以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,求出 和平面CEF的法向量 ,則直線AC1與平面CEF所成角的正弦值等于|cos< >|.

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存在點(diǎn),使得平面

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