Question

已知：△ABC的周長(zhǎng)為

2

+1，且sinA+sinB=

2

sinC
（1）求：邊c的長(zhǎng)；
（2）若△ABC的面積為

1

6

sinC，求：角C大小．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，得到a，b及c的關(guān)系式，根據(jù)周長(zhǎng)的值，求出c的值即可；
（2）由三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，使其等于已知的面積，得到ab的值，又根據(jù)第一問(wèn)求出的c的值，得到a+b的值，配方后求出a²+b²的值，然后利用余弦定理表示出cosC，把得到的a²+b²，ab及c的值代入求出cosC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得到C的度數(shù)．

解答：解：（1）∵△ABC的周長(zhǎng)為

2

+1，
∴a+b+c=

2

+1，
∵sinA+sinB=

2

sinC，
∴由正弦定理得a+b=

2

c，（2分）
∴c=1；（3分）
（2）∵△ABC的面積S=

1

2

absinC=

1

6

sinC，
∴ab=

1

3

，（4分）
∵a+b=

2

c=

2

，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=

4

3

，
∴由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

（7分）
∵C∈（0，π），
∴C=

π

3

（8分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．