已知拋物線C：y2=2ax（a＜0）,過點(diǎn)(-1,0)作直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，問是否存在以AB為直徑且過拋物線的焦點(diǎn)F的圓?

思路解析：實(shí)際的問題是：是否存在實(shí)數(shù)a，使得以AB為直徑且過拋物線C的焦點(diǎn)F的圓存在，這里首先設(shè)出直線l的方程，代入拋物線方程，再利用根與系數(shù)關(guān)系及條件AF⊥BF求解.

解：設(shè)直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0），代入拋物線C：y2=2ax整理得k2x2+（2k2-2a）x+k2=0

                                                                                                           ①

若以AB為直徑且過焦點(diǎn)F的圓存在，則AF⊥BF.

∵F（，0），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則·=-1，

即k2（x1+1）（x2+1）+（x1-）（x2-）=0.                                     ②

由方程①有x1+x2=,x1x2=1,代入②,整理得k2=.

∵k2＞0,∴a2+12a+4＞0且a＜0.

解得a＜-6-4或-6+4＜a＜0.

又當(dāng)k不存在時(shí),直線l:x=-1,可得A(-1,-),B(-1,),由kAF·kBF=-1得a=-6±4.故當(dāng)a≤-6-4或-6+4≤a＜0時(shí),存在滿足題設(shè)的圓;當(dāng)-6-4＜a＜-6+4時(shí),不存在這樣的圓.

方法歸納

    在解題過程中,應(yīng)注意對(duì)k進(jìn)行分類討論,還應(yīng)注意a＜0對(duì)所求結(jié)果的影響.另外,在解題中,也可設(shè)直線l的方程為ky=x+1(k≠0),這對(duì)簡化運(yùn)算有一定的幫助.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4且位于x軸上方的點(diǎn)． A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（Ⅲ）以M為圓心，4為半徑作圓M，點(diǎn)P（m，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試討論直線AP與圓M的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2px（p＞0），F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，A為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，過A作拋物線準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q．
（1）若點(diǎn)P（0，4）與點(diǎn)F的連線恰好過點(diǎn)A，且∠PQF=90°，求拋物線方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0）在x軸上，若要使∠MAF總為銳角，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2Px（p＞0）上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+b（k≠0）與拋物線C交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a＞0），求證：a2=
16(1-kb)k2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=4x，點(diǎn)M（m，0）在x軸的正半軸上，過M的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）若m=1，且直線l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；
（II）問是否存在定點(diǎn)M，不論直線l繞點(diǎn)M如何轉(zhuǎn)動(dòng)，使得
1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=8x與點(diǎn)M（-2，2），過C的焦點(diǎn)，且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若
MA
•
MB
=0，則k=（　�。�

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