【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng)為1,且,數(shù)列滿足,,對任意,都有.
(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;
(2)令,數(shù)列的前項(xiàng)和為.若對任意的,不等式恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ), ;(Ⅱ)
【解析】
試題(1)由,得,又,兩式相減得,整理得,即,又因?yàn)?/span>,,
利用累積法得,
從而可求出數(shù)學(xué)的通項(xiàng)公式為;
在數(shù)列中,由,得,且,
所以數(shù)學(xué)是以首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,從而數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
(2)由題意得,
,
兩式相減得,
由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可求得,
由不等式恒成立,得恒成立,
即()恒成立,
構(gòu)造函數(shù)(),
當(dāng)時(shí),恒成立,則不滿足條件;
當(dāng)時(shí),由二次函數(shù)性質(zhì)知不恒成立;
當(dāng)時(shí),恒成立,則滿足條件.
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
試題解析:(1)∵,∴(),兩式相減得,,
∴,即(),又因?yàn)?/span>,,從而
∴(),
故數(shù)列的通項(xiàng)公式().
在數(shù)列中,由,知數(shù)列是等比數(shù)列,首項(xiàng)、公比均為,
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)∴①
∴②
由①-②,得,
∴,
不等式即為,
即()恒成立.
方法一、設(shè)(),
當(dāng)時(shí),恒成立,則不滿足條件;
當(dāng)時(shí),由二次函數(shù)性質(zhì)知不恒成立;
當(dāng)時(shí),恒成立,則滿足條件.
綜上所述,實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.
方法二、也即()恒成立,
令.則,
由,單調(diào)遞增且大于0,∴單調(diào)遞增∴
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.
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【題目】已知f(x)是定義域?yàn)椋?,+∞)的單調(diào)函數(shù),若對任意的x∈(0,+∞),都有 ,且方程|f(x)﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區(qū)間(0,3]上有兩解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.0<a≤5
B.a<5
C.0<a<5
D.a≥5
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓 (a>b>0)的離心率為 ,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若P為橢圓上的一點(diǎn),過點(diǎn)O作OP的垂線交直線 于點(diǎn)Q,求 的值.
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【題目】甲、乙兩個(gè)同學(xué)分別拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子.
(1)求他們拋擲的骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)的概率;
(2)求甲拋擲的骰子向上的點(diǎn)數(shù)不大于乙拋擲的骰子向上的點(diǎn)數(shù)的概率.
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【題目】海南沿海某次超強(qiáng)臺風(fēng)過后,當(dāng)?shù)厝嗣穹e極恢復(fù)生產(chǎn),焊接工王師傅每天都很忙碌.一天他遇到了一個(gè)難題:如圖所示,有一塊扇形鋼板,半徑為米,圓心角,施工要求按圖中所畫的那樣,在鋼板上裁下一塊平行四邊形鋼板,要求使裁下的鋼板面積最大.請你幫助王師傅解決此問題.連接,設(shè),過作,垂足為.
(1)求線段的長度(用來表示);
(2)求平行四邊形面積的表達(dá)式(用來表示);
(3)為使平行四邊形面積最大,等于何值?最大面積是多少?
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【題目】已知函數(shù),.
(1)問:能否為偶函數(shù)?請說明理由;
(2)總存在一個(gè)區(qū)間,當(dāng)時(shí),對任意的實(shí)數(shù),方程無解,當(dāng)時(shí),存在實(shí)數(shù),方程有解,求區(qū)間.
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【題目】如圖,在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面)中,,,,.
(1)證明:平面;
(2)若是的中點(diǎn),在線段上是否存在一點(diǎn)使平面?若存在,請確定點(diǎn)的位置;若不存在,也請說明理由.
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【題目】十九大指出中國的電動汽車革命早已展開,通過以新能源汽車替代汽/柴油車,中國正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重塑全球汽車行業(yè)的計(jì)劃.年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備,通過市場分析,全年需投入固定成本萬元,每生產(chǎn)(百輛),需另投入成本萬元,且.由市場調(diào)研知,每輛車售價(jià)萬元,且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.
(1)求出2018年的利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(百輛)的函數(shù)關(guān)系式;(利潤=銷售額-成本)
(2)2018年產(chǎn)量為多少百輛時(shí),企業(yè)所獲利潤最大?并求出最大利潤.
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【題目】設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{},Sn為前n項(xiàng)和,且S10=10,S30=70,那么S40=______
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