Question

橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(-

3

，0)和F2(

3

，0)，且橢圓過點(diǎn)(1，-

3

2

)．
（1）求橢圓方程；
（2）過點(diǎn)(-

6

5

，0)作不與y軸垂直的直線l交該橢圓于M、N兩點(diǎn)，A為橢圓的左頂點(diǎn)，試判斷∠MAN的大小是否為定值，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)橢圓中三個(gè)參數(shù)的關(guān)系得到a，b的一個(gè)等式，再將橢圓過的點(diǎn)代入得到橢圓的另一個(gè)關(guān)于a，b的等式，解方程組，得到橢圓的方程．
（2）設(shè)出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的方程，利用韋達(dá)定理得到交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，求出

AM

•

AN

的值，利用向量垂直的充要條件求出∠MAN的大�。�

解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1
∵焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-

3

，0)與F2(

3

，0)
∴a²=3+b²①
∵橢圓過點(diǎn)(1，-

3

2

)
∴

1

a2

+

3

4b2

=1②
解得a²=4，b²=1；
所以橢圓方程為

x2

4

+y2=1
（2）設(shè)直線MN的方程為：x=ky-

6

5

，
聯(lián)立直線MN和曲線C的方程可得：

x=ky- 6 5 x2 4 +y2=1

得：(k2+4)y2-

12

5

ky-

64

25

=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（-2，0），
則y1+y2=

12k

5(k2+4)

，y1•y2=-

64

25(k2+4)

則

AM

•

AN

=(x1+2，y1)•(x2+2，y2)=(k2+1)y1y2+

4

5

k(y1+y2)+

16

25

=0
即可得，∠MAN=

π

2

．

點(diǎn)評：求圓錐曲線的方程一般利用待定系數(shù)法；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的方程，利用韋達(dá)定理得到交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系找突破口．