Question

【題目】某公司訂購(gòu)了一批樹(shù)苗，為了檢測(cè)這批樹(shù)苗是否合格，從中隨機(jī)抽測(cè)100株樹(shù)苗的高度，經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到如圖（1）所示的頻率分布直方圖，其中最高的16株樹(shù)苗的高度的莖葉圖如圖（2）所示，以這100株樹(shù)苗的高度的頻率估計(jì)整批樹(shù)苗高度的概率.

（1）求這批樹(shù)苗的高度高于米的概率，并求圖（1）中，，的值；

（2）若從這批樹(shù)苗中隨機(jī)選取3株，記為高度在的樹(shù)苗數(shù)量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）若變量滿足且，則稱變量滿足近似于正態(tài)分布的概率分布.如果這批樹(shù)苗的高度滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，則認(rèn)為這批樹(shù)苗是合格的，將順利被簽收，否則，公司將拒絕簽收.試問(wèn)：該批樹(shù)苗能否被簽收？

Answer 1

【答案】（1）概率為，，，；（2）分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望；（3）被簽收.

【解析】

（1）結(jié)合莖葉圖，求得每組頻率，再求得的值.

（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的知識(shí)求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.

（3）求得與，由此判斷這批樹(shù)苗的高度滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，應(yīng)認(rèn)為這批樹(shù)苗是合格的，能被簽收.

（1）由題圖（2）可知，100株樣本樹(shù)苗中高度高于米的共有15株，

以樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可得這批樹(shù)苗的高度高于米的概率為.

記為樹(shù)苗的高度，結(jié)合題圖（1）（2）可得：

，

，

.

因?yàn)榻M距為，所以，，.

（2）以樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可得：從這批樹(shù)苗中隨機(jī)選取1株，高度在的概率為

.

因?yàn)閺倪@批樹(shù)苗中隨機(jī)選取3株，相當(dāng)于三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，

所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，

故的分布列為，

即

	0	1	2	3

(或).

（3）由，取，，

由（2）可知，，

又結(jié)合（1），可得

，

所以這批樹(shù)苗的高度滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，

應(yīng)認(rèn)為這批樹(shù)苗是合格的，將順利被該公司簽收.