Question

求圓心在直線x+y=0上，且過(guò)兩圓x²+y²-2x+10y-24=0，x²+y²+2x+2y-8=0交點(diǎn)的圓的方程．

Answer 1

分析：本題利用直線與圓的位置關(guān)系，求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程；有多種解法：
 一是利用圓心到兩交點(diǎn)的距離相等求圓心，先兩圓方程聯(lián)立求出兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用圓心在直線x+y=0上，可設(shè)圓心坐標(biāo)為（x，-x），利用兩點(diǎn)間距離公式得方程求出x，進(jìn)一步可得出圓心坐標(biāo)，從而得到圓的方程；
二是可利用弦的垂直平分線過(guò)圓心，先求出弦的中垂線方程，以及由已知直線x+y=0過(guò)圓心，聯(lián)立方程組可求得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求出圓的方程；
三是利用待定系數(shù)法求圓的方程，設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）²+（y-b）²=r²，利用兩交點(diǎn)坐標(biāo)列出方程，以及圓心在直線x+y=0上，得到a+b=0解出a，b，r可得圓的方程．
四是利用“圓系”方程的概念求圓的方程，于是可設(shè)所求圓的方程為x²+y²-2x+10y-24+λ（x²+y²+2x+2y-8）=0（λ≠-1），得到其圓心坐標(biāo)，再代入x+y=0可得出λ的值，反代入圓系方程化簡(jiǎn)得出圓的方程來(lái)．

解答：解法一：（利用圓心到兩交點(diǎn)的距離相等求圓心）
將兩圓的方程聯(lián)立得方程組

x2+y2-2x+10y-24=0 x2+y2+2x+2y-8=0

，
解這個(gè)方程組求得兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)A（-4，0），B（0，2）．
因所求圓心在直線x+y=0上，故設(shè)所求圓心坐標(biāo)為（x，-x），則它到上面的兩上交點(diǎn)
（-4，0）和（0，2）的距離相等，故有

(-4-x)2+(0+x)2

=

x2+(2+x)2

，
即4x=-12，∴x=-3，y=-x=3，從而圓心坐標(biāo)是（-3，3）．
又r=

(-4+3)2+32

=

10

，故所求圓的方程為（x+3）²+（y-3）²=10．
解法二：（利用弦的垂直平分線過(guò)圓心求圓的方程）
同解法一求得兩交點(diǎn)坐標(biāo)A（-4，0），B（0，2），弦AB的中垂線為2x+y+3=0，
它與直線x+y=0交點(diǎn)（-3，3）就是圓心，又半徑r=

10

，
故所求圓的方程為（x+3）²+（y-3）²=10．
解法三：（用待定系數(shù)法求圓的方程）
同解法一求得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為A（-4，0），B（0，2）．
設(shè)所求圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，因兩點(diǎn)在此圓上，且圓心在x+y=0上，所以得方
程組

(-4-a)2+b2=r2 a2+(3-b)2=r2 a+b=0

，解之得

a=-3 b=3 r= 10

，
故所求圓的方程為（x+3）²+（y-3）²=10．
解法四：（用“圓系”方法求圓的方程．過(guò)后想想為什么？）
設(shè)所求圓的方程為x²+y²-2x+10y-24+λ（x²+y²+2x+2y-8）=0（λ≠-1），
即x2+y2-

2(1-λ)

1+λ

x+

2(5+λ)

1+λ

y-

8(3+λ)

1+λ

=0．
可知圓心坐標(biāo)為(

1-λ

1+λ

，-

5+λ

1+λ

)．
因圓心在直線x+y=0上，所以

1-λ

1+λ

-

5+λ

1+λ

=0，解得λ=-2．
將λ=-2代入所設(shè)方程并化簡(jiǎn)，求圓的方程x²+y²+6x-6y+8=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系，考查了圓的幾何性質(zhì)，圓的方程的求法--待定系數(shù)法求方程的思想方法，圓系方程的概念．