已知函數(shù)f(x)=ln(2+3x)-
3
2
x2
(1)求函數(shù)y=f(x)的極大值;
(2)令g(x)=f(x)+
3
2
x2+(m-1)x(m為實(shí)常數(shù)),試判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性;
(3)若對(duì)任意x∈[
1
6
,
1
3
]
,不等式|a-lnx|+ln[f′(x)+3x]>0均成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)把定義域分段,判斷出函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的單調(diào)性,從而判出函數(shù)的極值點(diǎn)并求出極值;
(2)把函數(shù)f(x)的解析式代入后求導(dǎo),然后對(duì)m進(jìn)行分類(lèi),根據(jù)m的不同范圍分析導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號(hào),從而得到函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)把函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)代入不等式|a-lnx|+ln[f′(x)+3x]>0的左側(cè),根據(jù)給出的x的范圍得到ln[f′(x)+3x]恒大于等于0,而|a-lnx|恒大于等于0,所以只需把使兩者同時(shí)為0的a值排除即可.
解答:解:(1)∵f(x)=ln(2+3x)-
3
2
x2,∴函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椋?span id="iqrjj0w" class="MathJye">-
2
3
,+∞).
f(x)=
3
3x+2
-3x
=
3-9x2-6x
3x+2
=-
9(x+1)(x-
1
3
)
3x+2
=0
,得x=
1
3
,
當(dāng)x∈(-
2
3
,
1
3
)
時(shí),f(x)>0,當(dāng)x∈(
1
3
,+∞)
時(shí),f(x)<0.
∴y=f(x)在(-
2
3
,
1
2
]
上為增函數(shù),在[
1
3
,+∞)
上為減函數(shù),
∴函數(shù)f(x)的極大值為f(
1
3
)=ln(2+3×
1
3
)-
3
2
×(
1
3
)2=ln3-
1
6

(2)由g(x)=f(x)+
3
2
x2+(m-1)x,
得g(x)=ln(2+3x)+(m-1)x  (x>-
2
3
),
所以g(x)=
3
2+3x
+m-1=
3(m-1)x+2m+1
2+3x

①當(dāng)m-1=0,即m=1時(shí),g(x)=
3
2+3x
>0
,∴g(x)在(-
2
3
,+∞)
上為增函數(shù);
②當(dāng)m-1≠0,即m≠1時(shí),g(x)=
3(m-1)x+2m+1
2+3x
=
3(m-1)[x+
2m+1
3(m-1)
]
2+3x

由g(x)=0,得:x=-
2m+1
3(m-1)
,∵-
2m+1
3(m-1)
-(-
2
3
)=-
1
m-1
,
∴1°若m>1,則-
1
m-1
<0
,-
2m+1
3(m-1)
<-
2
3
,∴x>-
2
3
時(shí),g(x)>0,∴g(x)在(-
2
3
,+∞)
上為增函數(shù);
2°若m<1,則-
2m+1
3(m-1)
>-
2
3
,∴當(dāng)x∈(-
2
3
,-
2m+1
3(m-1)
)
時(shí),g(x)>0;當(dāng)x∈(-
2m+1
3(m-1)
,+∞)
時(shí),
g(x)<0,∴g(x)在(-
2
3
,-
2m+1
3(m-1)
]
上為增函數(shù),在[-
2m+1
3(m-1)
,+∞)
上為減函數(shù).
綜上可知,當(dāng)m≥1時(shí),g(x)在(-
2
3
,+∞)
上為增函數(shù);
當(dāng)m<1時(shí),g(x)在(-
2
3
,-
2m+1
3(m-1)
]
上為增函數(shù),在[-
2m+1
3(m-1)
,+∞)
上為減函數(shù).
(3)∵f(x)=
3
2+3x
-3x

由|a-lnx|+ln[f(x)+3x]>0,得:|a-lnx|+ln
3
2+3x
>0
,
∵x∈[
1
6
,
1
3
]
,∴0≤ln
3
2+3x
≤ln
6
5
,而|a-lnx|≥0,
∴要對(duì)任意x∈[
1
6
,
1
3
]
,不等式|a-lnx|+ln[f(x)+3x]>0均成立,
ln
3
2+3x
與|a-lnx|不同時(shí)為0.
因當(dāng)且僅當(dāng)x=
1
3
時(shí),ln
3
2+3x
=0,所以為滿足題意必有|a-ln
1
3
|≠0
,即a≠ln
1
3

故對(duì)任意x∈[
1
6
,
1
3
]
,不等式|a-lnx|+ln[f′(x)+3x]>0均成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≠ln
1
3
}.
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件,考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題,連續(xù)函數(shù)在定義域內(nèi)某點(diǎn)的兩側(cè)的單調(diào)性不同,則該點(diǎn)是函數(shù)的極值點(diǎn),此題是中檔題.
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已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當(dāng)a=1時(shí),若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點(diǎn),求k的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對(duì)任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點(diǎn)M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點(diǎn)M處的切線l∥AB,則稱(chēng)直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí),又稱(chēng)直線AB存在“中值伴侶切線”.試問(wèn):當(dāng)x≥e時(shí),對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2012的值為( 。

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已知函數(shù)f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)若直線l過(guò)點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實(shí)數(shù)a的不同取值,寫(xiě)出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫(xiě)出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l,使得l為曲線C的對(duì)稱(chēng)軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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